Модель SERID распространения вируса.

[Ian]

В модели SERID учитывается тот факт, что инфекционные заболевания имеют скрытый (латентный) период заболевания. Под этим периодом понимается временной промежуток, когда человек еще не передает заболевание окружающим (в нем мало вирусов)
Модель SERID делит популяцию на виды:
S(t)-восприимчивые;
E(t) – латентные;
I(t) – инфицированные;
R(t) – невосприимчивые;
D(t) – умершие.
Если учесть тот факт, что популяция не меняется во время вспышки болезни, то в любой момент времени выполняется равенство:
S(t)+E(t)+I(t)+R(t)+D(t)=const=N

схема.png (18.96 KiB) 7767 просмотра

Тогда система дифференциальных уравнений имеет вид:

Будем считать, что период Е продолжается 7 дней, а период I (считая скрытую фазу) 14 дней. Тогда [math]\mu+\gamma=\frac 1{14}, [math]\delta=\frac 17
В оригинале модели [math]\beta=\frac kN, где k имеет смысл вероятности индивида заразиться в данный день, если все кто его окружают заразны (например для санитарки в больнице)
Выделим замкнутую систему из первых трех уравнений на E, I, S
Вот типичное решение

EIS.JPG (27.23 KiB) 7767 просмотра

Можно поставить вопрос: затронет ли эпидемия почти всех восприимчивых, в продолжении достаточно долгого времени? Если S(t), E(t) и I(t) приблизятся к некоторым постоянным значениям, то их производные будут близки к 0, значит, и правые части должны обратиться в 0 .Отсюда I=E=0, а о предельном значении S ничего сказать пока нельзя. Обозначим его s, учтем, что S(0)=N0=N-I(0) –численность популяции минус небольшое число изначально инфицированных
Сложим уравнения системы
[math]\frac{d(S+E+I)}{dt}=-(\mu+\gamma)I\\
\frac{dS}{Sdt}=-\beta I
Интегрируем каждое из них [math](E(0)=E(\infty)=I(\infty)=0)
[math]S(0)+I(0)-s=(\mu+\gamma)\int_0^{\infty}I(t)dt=\frac{\mu+\gamma}{\beta}(\ln S(0)-\ln s)
отсюда s является решением трансцедентного уравнения и неизбежно положительно. Но только при редких удачных значениях параметров близко к N0, как правило, на 1-2 порядка меньше.
Пока вывод: в этой модели, ограничивая общение (управляя бетой) избежать эпидемии нельзя, ее можно только отложить по времени на полгода-год, до изобретения общедоступной вакцины.
Коллеги, как можно уточнить/обобщить эту модель? Или ну ее, жизнь сама все расставит?

[zykov]

Source of the post Пока вывод: в этой модели, ограничивая общение (управляя бетой) избежать эпидемии нельзя

Ну не знаю. По обычной логике вроде так:
Если скажем 10 человек болеет и их запереть на жесткий карантин, и тех кто их обслуживает (санитарок и прочее), тоже там же запереть, и держать там пока все не выздоровеют и не перестанут быть заразными, то болезнь наружу не выйдет.

Риск создают заразные и не запертые.
Мне кажется, эта модель вообще карантин адекватно не учитывает.

[Ian]

Это таки если знаем всех носителей. На судне "Принцесса" были заболевшие, заперли всех. Через 5 дней после запирания некий А заразился. Перенес в легкой форме,даже не очень зная чем болел, но через 10 дней заразил некоего В. И так можно было на 150 дней их запереть а когда выпустят будет скрытый носитель. Гипотетически, но с большой вероятностью. Видите на графике -пик заболевания пришелся на 100й день