Олимпиада ОММО для абитуриентов технических вузов
Мне непонятен даже подход к задаче 8
оммо-2020 задача 8
оммо-2020 задача 8
, значит треугольники и - прямоугольныуе треугольники. Прямой угол при и при . - гипотенуза.
Для прямоугольного треугольника центр описанной около него окружности лежит в центре гипотенузы.
Значит центр описанной около этого тетраэдра сферы - это центр (назовем ), а диаметр этой сферы равен 8.
Значит сумма сферических расстояний от любой точки до и равна .
Т.е. искомое множество - это множество точек для которых сумма сферических расстояний до и не более . Или другими словами, сумма углов и не более .
Для примера, если расположить плоскость экватора в плоскости , то до полюсов сумма углов будет , т.к. угол до каждого полюса будет . Если - диаметр параллельный хорде , то сумма углов и равна (аналогично для ).
Вобщем, если из провести вектор вдоль биссектрисы угла , множество точек до которых сумма углов не более - это полупространство векторов имеющих острый угол с выбранным вектором.
Значит искомая площадь - это половина площади сферы, что равно .
Для прямоугольного треугольника центр описанной около него окружности лежит в центре гипотенузы.
Значит центр описанной около этого тетраэдра сферы - это центр (назовем ), а диаметр этой сферы равен 8.
Значит сумма сферических расстояний от любой точки до и равна .
Т.е. искомое множество - это множество точек для которых сумма сферических расстояний до и не более . Или другими словами, сумма углов и не более .
Для примера, если расположить плоскость экватора в плоскости , то до полюсов сумма углов будет , т.к. угол до каждого полюса будет . Если - диаметр параллельный хорде , то сумма углов и равна (аналогично для ).
Вобщем, если из провести вектор вдоль биссектрисы угла , множество точек до которых сумма углов не более - это полупространство векторов имеющих острый угол с выбранным вектором.
Значит искомая площадь - это половина площади сферы, что равно .
оммо-2020 задача 8
zykov писал(а):Source of the post это полупространство векторов имеющих острый угол с выбранным вектором
Может есть проще способ показать это, но вот первое что приходит на ум:
Вектора , и - единичные вектора вдоль , и . Тогда вектор направлен вдоль биссектрисы.
Тогда .
Значит эквиваленто , учитывая что всегда (т.к. и , при этом, если один равен нулю, то другой строго меньше ).
оммо-2020 задача 8
Обозначим [math] диаметрально противоположную точку на сфере
[math]
[math]
[math]
Значит из диаметрально противоположных точек, как правило, только одна принадлежит искомому множеству, а равенство это случай редкий(?)
[math]
[math]
[math]
Значит из диаметрально противоположных точек, как правило, только одна принадлежит искомому множеству, а равенство это случай редкий(?)
zykov писал(а):Значит искомая площадь - это половина площади сферы, что равно .
оммо-2020 задача 8
Ian писал(а):Source of the post Значит из диаметрально противоположных точек, как правило, только одна принадлежит искомому множеству
Да, это хороший аргумент. Остается доказать, что граница лежит в одной плоскости. Пока что это может быть любая центрально симметричная кривая на сфере.
Наверно получится дожать, если использовать диаметральные точки для и и зеркальную симметрию в этом случае относительно плоскости перпендикулятрной биссектрисе.
оммо-2020 задача 8
Для зеркальной симметрии будет:
и (то же самое для зеркально симметричной от ).
И из зеркальной симметрии , т.к. и зеркально симметричны (и аналогично и ).
Если лежит на плоскости, то . Тогда и , т.е. .
Если не лежит на плоскости, то , т.е. одна сумма меньше , другая больше.
и (то же самое для зеркально симметричной от ).
И из зеркальной симметрии , т.к. и зеркально симметричны (и аналогично и ).
Если лежит на плоскости, то . Тогда и , т.е. .
Если не лежит на плоскости, то , т.е. одна сумма меньше , другая больше.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость