Портал Естественных Наук, версия 1.1

Здраствуйте.
Возникла у меня затыка с простой с виду задачей.
Надо доказать неравенство [math](a+b+c)^2\leqslant 3(a^2+b^2+c^2) для любых вещественных [math]a, b, c.
Чего только не перепробовала!
И вычитала из левой части правую с раскрытием всех скобок, и пыталась через неравенство Коши. Где-то не хватает какой-то мелочи. Какая-то слепота.
Только подскажите идею, пожалуйста.

Например геометрически это сразу видно.
Для вектора выражение - это квадрат его нормы.
Если перейти в новую ортонормированную систему координат, где , а и - любые ему (и друг другу) перпендикулярные единичные вектора, то в этой системе вектор будет и .
При этом очевидно, что меньше или равен норме вектора.

Это геометрическое решение легко превратить в алгебраическое, если сделать линейную замену переменных (например , и , тогда /6).

После раскрытия всех скобок соберется по-другому
[math]0\leq (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2

zykov писал(а):При этом очевидно, что меньше или равен норме вектора

zykov
Можете пояснить этот момент? Мне это совсем неочевидно.
Ian
Какая же я дура! Я же почти дошла до этого.
Спасибо.

Dolly писал(а):Source of the post zykov писал(а):
При этом очевидно, что меньше или равен норме вектора

zykov
Можете пояснить этот момент? Мне это совсем неочевидно.

Норма вектора , значит .

Эту задачу можно переписать геометрически: если вектор , вектор , то нужно доказать что , где - скалярное произведение двух векторов.

zykov писал(а):Source of the post нужно доказать что ,

Доказывается тоже элементарно: