Портал Естественных Наук, версия 1.1

Здраствуйте.
Возник у меня вопрос в процессе одной курсовой работы.
Есть два уравнения [math]x^2-19x-92=0 и [math]x^3-15x^2-168x-368=0.
Равносильны ли они?
Оба уравнения имеют 2 корня: [math]x_1=-4 и [math]x_2=23, только в кубическом уравнении первый корень кратный.
Вспомнив определение из учебника:

Two equations are equivalent if they have the same set of solutions. Equations that have no roots are also considered equivalent.

сделала вывод, что уравнения равносильны.
Однако моя преподша обломала меня, сказав, что множество [math]\{-4, 23\} не совпадает с мультимножеством [math]\{-4, -4, 23\}, поэтому об эквивалентности речи нет.
Рассудите, права ли она. Причём вобще здесь, в обычном алгебраическом уравнении, упоминание о мультимножестве? Не пойму.

Если исходить из определения

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

то они равносильны.

Dolly писал(а):Source of the post что множество [math]\{−4,23\} не совпадает с мультимножеством [math]\{−4,−4,23\}

Бред какой-то...
Множество [math]\{−4,23\} совпадает с множеством [math]\{−4,−4,23\}.

Если речь идет о многочленах, то там учитывается кратность корней, и это конечно разные многочлены.

zykov писал(а):они равносильны.

zykov
Спасибо, успокоили.
А при чём же всё-таки здесь мультимножество корней?

Равносильность уравнений -понятие из логики, предикаты [math]A(x)=(x^2-19x-92=0) и [math]B(x)=(x^3-15x^2-168x-368=0)эквивалентны, так как каждый из них эквивалентен [math]C(x)=(x=-4)\vee (x=23).
Если нас обяжут в процессе решения смотреть, является ли один корень кратнее, чем другой, некоторые приемы математики должны быть выброшены, потому что они являются эквивалентными переходами, но меняют это свойство. Например, особое решения диф. уравнения Клеро кратнее, чем общие?

Ian писал(а):некоторые приемы математики должны быть выброшены

Ian
Почему? Поясните, пожалуйста, этот момент.

Ну например уравнение [math]\sin x(1-\cos x)=0 какой корень кратнее -0 или пи? и во сколько раз? сколько раз 0 перечислить в мультимножестве - 2 раза или три, если пи перечислено один раз, это, по мнению Вашего преподавателя, разные ответы. Один способ- разбиваем на 2 случая, в одном 0, в другом оба. "Другой" ответ получается, если заметить, что график имеет касание 3-го порядка в нуле. Или если преобразовать в произведение [math]4\cos\frac x2\sin^3\frac x2=0
получается что естественный переход к рассмотрению нескольких случаев - и то должен делаться "с учетом кратности этих случаев" .И так всю математику будем пересматривать, работать будет некогда, а школьники поседеют но до сути не дойдут

Понятие кратности корня по сути имеет отношение только к многочленам. (Ну или кратность собственного значения матрицы/оператора, но там тоже многочлен имеет место.)
В ТФКП так же рассматривают порядок нуля или полюса (по асимптотике). Но на мой взгляд это уже не совсем "кратность корня".

Насколько я понимаю, понятие "равносильность уравнений" (equivalence) возникает из способа решения уравнений методом эквивалентных преобразований. Это когда к уравнению применяют последовательно преобразования не меняющие набор решений уравнения (с целью упрощения).
С этой точки зрения уравнение эквивалентно уравнению .

zykov, Ian
Огромное спасибо за подробное разъяснение.
Собственно я и раньше знала кое-что из этого, просто реакция моей преподши меня ошарашила.
Ещё раз спасибо.