Вещественные числа. Пора на свалку. Новая числовая революция

[vladyur]

Вопрос на засыпку: откуда берутся числа в практической деятельности? Конечно, можно сказать "Из головы". Но вряд ли для работы с придуманными числами покупаются миллионы компьютеров.Значит, из реальной практики. Но какой?
1. Первый главнейший источник чисел - это счет. Считаем деньги и стулья, дни и рюмки и т.д. Для цели счета используются целые числа. Особенность счетной информации - ее однозначность. Кто бы ни считал, какие ни использовал алгоритмы - результат у всех будет один и тот же.
2.А вот второй источник чисел, наверное никто не угадает. Это ИЗМЕРЕНИЕ. В современном мире измерение и измерительные данные приобретают все большую значимость. 
Но!!! в чем особенность измерительных, будем говорить о метрологическихъ данных. Отметим, что измерительные дданные не совпадают со счетными и  целыми. 
Первая особенность - неоднозначность. Один и тот же измерительный объект может иметь различное описание в зависимости от используемых приборов. Другими словами, измерительные данные тесно связаны с измерительными приборами. тут тесный симбиоз математики и техники.
Вторая концептуальная особенность состоит в том, что полное описание измерительных данных требует как минимум двух числовых компонент - величины (номинала) измеряемой величины и.. метрологической характеристики (точности, погрешностей, интервала и пр.). Причем вторая компонента для практического использования чрезвычайно важна. Пример, в физике вообще не принимают измеряемые данные без их метрологии. Неправильное метрологическое описание чисел может приводить к самым серьезным последствияс вплоть до аварий и катастроф. Да и с точки зрения экономики. Получение измерительных данных с различными метрологическими характерисками может различаться по стомости в десятки, а порой и тысячи раз.
НО!!! В современной математики для описания метрологических чисел используют так называемые вещественные (канторовские числа или их подмножества) числа. С их помощью можно дать описание номинала, но метрология (в едином комплексе) с их помощью не описывается. Вещественные числа не имеют институции точности или погрешности. А без этого они просто не имеют права использоваться для оптисания метрологических чисел. Таким образом, вся, точнее, значительная часть вычислительной математики некорректна и далжна быть просто ликвидирована. Не могут существовать измерительные даные без их метрологической харктеристики. Например, что означает число 1,5? Это 1,5+_0.1 или 1,5+-0.00001? Ясно, что это разные метрологические числа. И по разному они должны и записываться, и по разному обрабатываться. И значит вопрос состоит не только в смене типа чисел, но и алгоритмов их обработки. Даже более, способов их практического использования. Таким образом современный мир стоит перед революцией в области чисел, которая приведет и к революции в самой математике (математика на множестве метрологических чисел вместо математики на множестве вещественных чисел),  в  обработке чисел (компьютерная и программная революция) и их использования. что вызовет и новую технологическую революцию, по Глазьеву "новый технологический уклад".
Математики, готовьтьесь к революции в вашей уже порядочно закостеневшей сфере. В том числе и в преподавании математики и не только в институтах и университетах, но даже и в школе.
 

[Andrew58]

Проблема далеко не новая. Посмотрите работы Л.Н.Брянского и А.С.Дойникова.

[folk]

Проблема высосана из пальца. Все варианты вычислений о которых вы говорите легко реализуются на фортране и С++. На основе обычных чисел как целых так и с точкой дальнего плавания К примеру в фортране интервальная арифметика встроена. Проблема давно  известна и общественный вердикт таков - шашечки не надо, будем ехать. То есть если вам реально надо что то вычислять то вычисляйте а точность оценивать будете другими способами. Ибо попытки вычислений (например обращения матрицы) с учетом погрешностей каждой операции ведут к переоценке реальной погрешности на порядки. Поэтому учет погрешности производится другим способом - как учет невязки.
Общий принцип - если вам не хватает точности то либо надо задуматься о смене алгоритма либо даже физической модели. Если вы не согласны с вышесказанным приведите пожалуйста пример алгоритма с контролем точности для вычисления собственных чисел. Вычислим на модельных примерах и сравним реальную невязку с предсказанной.
 

[Andrew58]

Source of the post Проблема высосана из пальца.

Не могу согласиться. Для меня является большой неожиданностью, что вдруг независимо возникла такая тема, которая была обсосана в моей же статье, опубликованной более 10 лет назад. Проблема решена в теории шкал измерений, которая не является секретом. И я готов поделиться этими знаниями со всеми. Задавайте вопросы.