Пространства Lp

Math · Сообщение **Math** » 13 июн 2013, 15:44

Скажите, а при каких условиях на $$f$$

(за исключением тривиальных) можно что-нибудь сказать про
$\lim\limits_{q \to +0}\Big(\int_{\Omega}|f(\omega)|^qdP(\omega)\Big)^{\frac{1}{q}}$ ,
где $$P$$

есть вероятностная мера.

Например, если бы $q \to \infty$ то, $||\cdot||_{q}$ стремится к $||\cdot||_{\infty}$ .

Ian · Сообщение **Ian** » 13 июн 2013, 19:07

Подобная дискретная сумма (получится, если Ваша мера дискретна), даже взвешенная с весовыми коэффициентами, стремится к среднему геометрическому (тоже взвешенному). Это можно найти в кн. Беккенбах и Беллман Неравенства
Значит, можно ожидать что для всех f из пересечения Lq по этой мере Ваш предел будет
$\displaystyle exp (\int_{\Omega}\ln |f(x)|dP(x))$ , приблизить f ступенчатыми, при малых q такое приближение должно оказаться равномерным по q.
В частности, если носитель f не имеет полной меры 1, то предел 0

yourdomain.com