Гомеоморфность евклидовых пространств

Doomere · Сообщение **Doomere** » 12 ноя 2012, 07:43

Под евклидовым пространством я имею в виду конечномерное вещественное векторное пространство с введенным на нем положительноопределенным отображением $L \times L \mapsto R$ , удовлетворяющим четырем известным аксиомам.

Всякое евклидово пространство нормированно, норма порождает метрику, а метрика - метрическую топологию.
Собственно, сам вопрос: будут ли евклидовые пространства (как топологические пространства) одинаковой размерности гомеоморфны? И если да, то как доказать эту гомеоморфность.
Знакомый препод по анализу не смог ответить на вопрос, ибо он понимает евклидовость уже - как арифметическое пространство с метрикой $\sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$

Мне доказательство гомеоморфности как-то всегда сложно давалось. Первое "но" которое у меня возникло: носители топологии гомеоморфных пространств должны представлять собой равномощные множества. Но векторное пространство со скалярным произведением можно построить на самых разных множествах, в том числе конечных (в этом правда я не очень уверен, ибо построить такой пример так и не получилось). Но если бы это было действительно так, то ответ на вопрос был бы "нет".

Не браните сильно, ибо я просто физик, интересующийся топологией.

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 12 ноя 2012, 14:11

задача поставлена некорректно
можно доказать, что все нормированные пространства одинаковой размерности гомеоморфны

Пусть в Rⁿ введена некоторая норма ||x||. Пусть e₁, ..., e_n - базис в Rⁿ и x = x₁e₁+ ...+ x_ne_n.
Рассмотрим норму ||x||₁ = |x₁|+...+ |x_n|.

Можно показать, что нормы эквивалентны, т.е. между ними выполнены неравенства
c||x||₁ <= ||x|| <= C||x||₁.

Эти неравенства означают, что произвольная норма ||.|| и ||.||₁ порождают в Rⁿ одинаковые метрические топологии. Таким образом, все топологии в Rⁿ, в том числе евклидова, эквивалентны.

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 12 ноя 2012, 17:08

Доказательство 1-го неравенства

Пусть $C = max_{1 \leq i \leq n} ||e_i||$ , тогда
$||x|| = || \sum_{i = 1}^{n}x_ie_i|| \leq \sum_{i = 1}^{n}|x_i|||e_i|| \leq C||x||_1$ .
Отсюда следует, что функция ||.|| непрерывна в пространстве R_n с нормой ||.||₁.

Доказательство 2-го неравенства
Рассмотрим единичную сферу в Rⁿ относительно нормы ||.||₁:
$S = \{ x \in R^n: ||x||_1) \}$
По теореме Вейерштрасса функция ||.|| будет иметь на S минимум c<>0.
Таким образом, для любого $x \in R^n$
$|| x/||x||_1 || \ge c \rightarrow ||x|| \ge c||x||_1$ .

folk · Сообщение **folk** » 12 ноя 2012, 20:17

Бывают и ненормируемые метрические пространства - для них вполне возможна неэквивалентность топологии при одинаковой размерности.

yourdomain.com