Понятие потока вектора

folk · Сообщение **folk** » 31 авг 2012, 13:55

Если поток вектора не зависит от поверхности - то можно рассматривать поверхность например кубика стремящегося в размерах к нулю.

Ian · Сообщение **Ian** » 31 авг 2012, 14:03

Автор не утверждает, что дивергенция в точке $div a (\vec x_0)$ равна потоку через поверхность малого шара с центром в ней, он просто говорит что зная потоки можно узнать дивергенцию. Выведем сами, чему же она равна. По ф-ле Гаусса-Остроградского $\displaystyle \iint\vec ad\vec S=\iiint div\vec a dV$ При малом шаре и гладком поле $\displaystyle div\vec a$ примерно константа и в пределе $\displaystyle div\vec a=\lim_{r(V)\to 0}\frac{\iint\vec ad\vec S}{\iiint dV}$ , тут в знаменателе просто объем шара. Это свойство дивергенции и можно принять за второе ее определение, наряду с первым, через частные произвожные.
А у Вас потерян объем как множитель, конечно приведет к противоречию.

Roto · Сообщение **Roto** » 03 сен 2012, 03:17

Не до конца понял. В общем под потоком вектора в точке автор подразумевает поток вектора через поверхность натянутую на некоторый малый объем. Однако это как мне кажется некорректная формулировка.

Ну да ладно, спасибо

Ian · Сообщение **Ian** » 03 сен 2012, 06:47

Roto писал(а):Source of the post
В общем под потоком вектора в точке автор подразумевает поток вектора через поверхность натянутую на некоторый малый объем. Однако это как мне кажется некорректная формулировка.

Это - некорректная. Поток вектора через сферу малого радиуса с центром в точке стремится к 0 при стремлении радиуса к 0, по двум причинам. Первая, что площадь сферы, по которой интегрируем, $4\pi r^2$ стремится к 0, а компоненты поля конечны, стремятся к компонентам в точке. Вторая, что диаметрально противоположные площадки на сфере имеют противоположные по знаку нормали, и поток можно преобразовать в интеграл по полусфере от $(\vec a (\vec r_0+\Delta \vec r)-\vec a (\vec r_0-\Delta \vec r),\vec n(\vec r_0+\Delta \vec r)dS$ , первая компонента скалярного произведения стремится к 0 из непрерывной дифференцируемости, как $$r$$

. Эти факторы "перемножаются", и получается, что поток не просто мал, но пропорционален $$r^3$$

. Поэтому неудивительно, что дивергенция равна пределу потока, деленного не на площадь поверхности малого шара, а на его объем, и это уже корректно. А формула Гаусса -Остроградского показала в пред. посте, что это еще и верно

.

yourdomain.com