Разложение в ряд Тейлора

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 17 окт 2011, 19:42

Добрый вечер. Требуется разложить
$$f(x)=Sin(x)$$

по степеням $(x-\frac {\pi} {3})$
Вводим замену:
$t=(x-\frac {\pi} {3})\\ x=t+\frac {\pi} {3}$

$\text{Sin}(x)=\text{Sin}\left(t+\frac{\pi }{3}\right)=\text{Sin}(t)\text{Cos}\left(\frac{\pi }{3}\right)+\text{Cos}(t)\text{Sin}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{Sin}(t)+\sqrt{3}\text{Cos}(t)\right)=\frac{1}{2}\left(\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n*\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}+\sqrt{3}\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n*\frac{t^{2n}}{(2n)!}\right)$

Вопрос: можно ли объединить эти два ряда в один? Подозреваю, что можно, но не вижу, как. :search: Помогите советом.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 17 окт 2011, 20:12

Берем ряд Маклерона для sinx и меняем х на $x-\frac {\pi} {3}$ . Естественно производные брать в точке $\frac {\pi} {3}$ .
[url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%...%BE%D1%80%D0%B0]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%...%BE%D1%80%D0%B0[/url]

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 17 окт 2011, 20:25

По-моему, можно поиграться с функцией $\frac {1+(-1)^n} {2}$ .

Ian · Сообщение **Ian** » 17 окт 2011, 20:50

Ну типа поигрался. Коэффициенты при членах типовой экспоненты чередуются через 4, поэтому ряд можно записать как $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\sin\left(\frac{\pi}3+\frac{\pi m}2\right)\frac{t^m}{m!}$

Feanorro · Сообщение **Feanorro** » 17 окт 2011, 20:51

}/{yk писал(а):Source of the post
Добрый вечер. Требуется разложить
по степеням $(x-\frac {\pi} {3})$
Вводим замену:
$t=(x-\frac {\pi} {3})\\ x=t+\frac {\pi} {3}$

$\text{Sin}(x)=\text{Sin}\left(t+\frac{\pi }{3}\right)=\text{Sin}(t)\text{Cos}\left(\frac{\pi }{3}\right)+\text{Cos}(t)\text{Sin}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{Sin}(t)+\sqrt{3}\text{Cos}(t)\right)=\frac{1}{2}\left(\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n*\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}+\sqrt{3}\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n*\frac{t^{2n}}{(2n)!}\right)$

Вопрос: можно ли объединить эти два ряда в один? Подозреваю, что можно, но не вижу, как. :search: Помогите советом.

Добрый вечер
Запишите ряд вот так: $\frac{1}{2}\left(\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n*\frac{t^{2n}*{t}}{(2n+1)*(2n)!}+\sqrt{3}\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n*\frac{t^{2n}}{(2n)!}\right)$
тогда пускай $a(n)=(-1)^n*\frac{t^{2n}}{(2n)!}\right)$ , а $b(n)=\frac{t}{2n+1}$
Затем запишем : $\frac{1}{2}\left(\sum _{n=0}^{\infty } a(n)b(n)+\sqrt{3}\sum _{n=0}^{\infty } a(n)\right)$
Итог:
$\frac{1}{2}\left(\sum _{n=0}^{\infty } a(n)(b(n)+\sqrt{3})\right)$

folk · Сообщение **folk** » 17 окт 2011, 21:06

а почему бы просто не разложить в ряд тейлора в точке $-\frac {\pi} {3}$

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 22 окт 2011, 10:53

Ian, Feanorro, спасибо за исчерпывающие ответы!

Andrew58, жаль я сам про такой вариант не вспомнил, спасибо!

yourdomain.com