Сумма ряда

Belka-svistelka

Добрый день всем участникам.
Прошу вашей помощи. Решила задание, но не уверена, что вычисления верны. Буду очень благодарна, если кто-то согласится проверить... Спасибо большое.

Задача найти сумму ряда.

$\sum_{n=3}^{\infty}{\frac {4-5n} {n(n-1)(n-2)}} = \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {A} {n}} + \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {B} {n-1}} + \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {C} {n-2}}$

$A = \frac {4-5n} {(n-1)(n-2)}$
Вычисляем при n=0
A = 2

$B = \frac {4-5n} {n(n-2)}$
при n=1
B = 1

$C = \frac {4-5n} {n(n-1)}$
при n=2
C= -3

Тогда получаем:

$\sum_{n=3}^{\infty}{\frac {4-5n} {n(n-1)(n-2)}} = \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {2} {n}} + \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {1} {n-1}} + \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {(-3)} {n-2}} = 2 \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {1} {n}} + \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {1} {n-1}} - 3 \sum_{n=3}^{\infty}{\frac {1} {n-2}} = 2 (\frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \frac {1} {5} ...) + (\frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \frac {1} {4} ...) - 3 (1 + \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \frac {1} {4} ...) = -3 \frac {1} {2}$

SiO2 · Сообщение **SiO2** » 02 июн 2011, 10:53

Вроде бы все верно, только в самом конце ошибка: -4.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 02 июн 2011, 11:01

SiO2 писал(а):Source of the post
Вроде бы все верно, только в самом конце ошибка: -4.

Да верно
вольфрам

Belka-svistelka

Спасибо.
Да, Вы правы. Я пересчитала и получилось -4

Тогда, вероятно, я и тут посчитала неверно.
Посмотрите, пожалуйста, если не затруднит:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {6} {9n^2+12n-5}} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac {6} {9(n+ \frac {5} {3})(n- \frac {1} {3})}} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac {2} {(3n+5)(n- \frac {1} {3})}} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac {A} {(3n+5)}} + {\frac {B} {(n - \frac {1} {3})}}$

Вычисляем коэффициенты и получаем А = -1, В = 1/3

Считаем сумму:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)} {(3n+5)}} + {\frac {\frac {1}{3}}{(n - \frac {1} {3})}} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {(3n-1)}} - \sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {(3n+5)}} = (\frac {1}{2} + \frac {1}{5} + \frac {1}{8} + \frac {1}{11} ...) - (\frac {1}{8} + \frac {1}{11} + \frac {1}{14} ...) = \frac {1}{2} + \frac {1}{5} = \frac {7}{10}$

Оу. Спасибо за вольфрам. Пока писала второй пример, ссылку подкинули... Второй решен верно...

yourdomain.com