Поверхностный интеграл второго рода

test_3 · Сообщение **test_3** » 21 май 2011, 10:58

Пусть есть поверхность заданная уравнением
$$z=f(x,y)$$

Необходимо вычислить поток через эту поверхность по внешней нормали, другими словами найти поверхностный интеграл второго рода.
Известна такая формула для сведения поверхностного интеграла второго рода к поверхностному интегралу первого рода:
$\iint_{S} \vec{F}\vec{n} dS$
С другой стороны, вектор нормали имеет коодинаты
$\vec{n}=$\frac{-f'_x}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}};\frac{-f'_y}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}};\frac{1}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}}$$
Таким образом
$\iint_{S} \vec{F}\vec{n} dS=\iint_{S}{$\frac{-f'_x}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}}F_x-\frac{f'_y}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}}F_y+\frac{1}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}}F_z$dS}=\\ \iint_{S_{xy}}{$\frac{-f'_x}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}}F_x-\frac{f'_y}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}}F_y+\frac{1}{\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}}F_z$*\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}dxdy}=\\ \iint_{S_{xy}}$-f'_xF_x-f'_yF_y+F_z$ dx dy$
Получили формулу сведения поверхностного интеграла к двойному
Но я такой формулы нигде в учебниках не виде :search: Верна ли она?

З.Ы Скобки почему то рисоваццо не хотят, но я думаю что ход понятен

Ian · Сообщение **Ian** » 21 май 2011, 12:55

test_3 писал(а):Source of the post
Пусть есть поверхность заданная уравнением

$\displaystyle \Pi=\iint_{S_{xy}}(-f'_xF_x-f'_yF_y+F_z) dx dy$
Получили формулу сведения поверхностного интеграла к двойному
Но я такой формулы нигде в учебниках не виде :search: Верна ли она?

(З.Ы Скобки почему то рисоваццо не хотят,-слэши убрать)

Формула верна, только вместо слов "внешняя нормаль", для незамкнутых поверхностей незаданных, говорите "верхняя нормаль", даже у функции < 0 она вверх от графика смотрит.Мне тоже жаль, что приходящие с конкретной задачей студенты ее не знают, можно было короче решать. Это еще в таком виде делают $\\U(x,y,z)=z-f(x,y),S=(U=0)\\\vec{n}=\frac{\nabla U}{|\nabla U|}\\\iint_S(F,\vec{n})dS=\iint_S(F,\nabla U)\frac{dS}{|\nabla U|}=\\=\iint_{S_{xy}}(F,\nabla U)\left(\frac{\d U}{\d z}\right)^{-1}dxdy=\iint_{S_{xy}}(F,\nabla U)dxdy$
последний переход только для такого U, как здесь

yourdomain.com