Переходные процессы в линейных электрических цепях

Karidat-Merkader

Здравствуйте.
Выполняю задание для домашней контрольной работы по предмету теория электрических цепей. При решении задачи получаю явно неверные ответы, но исправить ошибки не получается. Буду благодарна за помощь.

B задании нужно рассчитать классическим методом переходные процессы по току в индуктивности $$i_1(t)$$

и по напряжению на ёмкости $$u_c(t)$$

.
Условие задачи:
E=125 B,
w=10000 рад/c,
R1=77 Ом,
R2=40 Ом,
R3=32 Ом,
L=22 мГн,
C=0.7 мкФ,
$$e=100sin10^4t$$

B.
Ключ K2 должен находиться в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа K1.

Решение:

Схема для рассчёта цепи до коммутации будет выглядеть вот так:

По ней и определим независимые начальные условия

Делаю рассчёт напряжения на ёмкости и тока в индуктивности до коммутации.
Реактивное сопростивление индуктивности:
$X_L=\omega L=10^4\cdot 22\cdot 10^{-3}=220$ Ом
Реактивное сопростивление ёмкости:
$X_C= \frac {1} {\omega C}=\frac {1} {10^4\cdot0.7\cdot10^{-6}}=142.857$ Ом
Комплексное сопротивление цепи относительно источника:
$Z=r_2+\frac {jX_L(r_3-jX_C)} {jX_L+r_3-jX_C}=40+\frac {j220(32-j142.857)} {j220+32-j142.857}=410.148e^{-j50.275}$
Комплексная амплитуда тока в цепи определяется по закону Ома
$I_{2m}=\frac {E_m} {Z}=\frac {100} {410.148e^{-j50.275}}=0.244e^{j50.275}$ A
Комплексная амплитуда тока в ветви c индуктивностью
$I_{1m}=I_{2m}\frac {r_3-jX_C} {jX_L+r_3-jX_C}=0.244e^{j50.275}\frac {32-j142.857} {j220+32-j142.857}=0.428e^{-j94.57}$ A
Мгновенное значение тока в цепи c индуктивностью
$i_1(t)=0.428\sin(10^4t-94.57^o)$
Положим t=0-
Величина тока в индуктивности перед коммутацией:
$i_1(0-)=0.428\sin(-94.57^o)=-0.427$ A
По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком
$$i_1(0-)=i_1(0+)=-0.427$$

A
Комплексная амплитуда тока в ветви c ёмкостью:
$I_{m3}=I_{2m}\frac {jX_L} {r_3-jX_C+jX_L}=0.244e^{j50.275}\frac {j220} {32-j142.857+j220}=0.643e^{j72.804}$ A
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости по закону Ома:
$U_{Cm}=I_{3m}(-jX_C)=0.643e^{j72.804}(-j142.857)=91.857e^{-j17.196$ B
По законам коммутации напряжение на ёмкости не может измениться скачком
$$u_c(0-)=u_c(0+)$$

Величина напряжения на ёмкости перед коммутацией:
$u_c=91.857\sin(10^4t-17.196^o)$
Положим t=0-, тогда $u_c(0-)=91.857\sin(-17.196^o)=-27.157$ B
Принужденные составляющие тока в индуктивности и напряжения на ёмкости определяются по схеме после коммутации

Комплексное сопротивление цепи относительно источника:
$Z=r_2+\frac {(r_1+jX_L)(r_3-jX_C)} {r_1+jX_L+r_3-jX_C}=$
$=40+\frac {(77+j220)(32-j142.857)} {77+j220+32-j142.857}=40+255.533^{-j41.952}=286.668e^{-j36.608}$ Ом
Комплексная амплитуда тока в ветви c индуктивностью:
$I_{1m}=I_{2m}\frac {r_3-jX_C} {jX_L+r_1+r_3-jX_C}=$
$=0.349e^{j36.608}\frac {32-j142.857} {j220+77+32-j142.857}=0.383e^{-j76.054}$ A
Мгновенное значение тока в индуктивности (принуждённая составляющая)
$i_{1np}=0,383\sin(10^4t-76,054)$
Комплексная амплитуда тока в цепи c ёмкостью:
$I_{3m}=I_{1m}\frac {jX_L+r_1} {r_3-jX_C}=$
$=0,383e^{-j76,054}\frac {j220+77} {32-j142,857}=0,61e^{j72,03}$ A
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости по закону Ома
$U_{Cm}=I_{3m}(-jX_C)=0,61e^{j72,03}(-j142,857)=87,143e^{-j17,97}$ B
Мгновенное значение напряжения на ёмкости (искомая принужденая составляющая)
$U_{Cnp}=87,143\sin(10^4t-17,97)$ B
Для составления характеристического уравнения, замыкаю накоротко зажимы источника ЭДС, разрываю цепь c ёмкостью. Комплексное сопротивление относительно разрыва:
$Z(j\omega)=r_3+\frac {1} {j\omega C}+\frac {r_2(r_1+j\omega L)} {r_2+r_1+j\omega L}$
Положим $j\omega=p$ , тогда
$Z(p)=r_3+\frac {1} {p C}+\frac {r_2(r_1+p L)} {r_2+r_1+p L}$
приравниваю к нулю Z(p)=0
$$CL(r_3+r_2)p^2+(r_2r_3C+r_1r_3C+L+r_1r_2C)p+r_1+r_2=0$$

корни уравнения:
$$p_1=-18421,194$$

Свободная составляющая переходного процесса
$i_{1sv}(t)=A_1e^{p_1t}+A_2e^{p_2t}$
Полный переходный ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих
$i_{1}(t)=0,428\sin(10^4t-94,57)+A_1e^{-18421t}+A_2e^{-5728t}$ A
дифференциирую это выражение
$\frac {di_1(t)} {dt}=0,428\cdot10^4\cos(10^4t-94,57)-18421A_1e^{-18421t}-5728A_2e^{-5728t}$
Положим t=0+, тогда
${i_1(0+)=0,428\sin(-94,57)+A_1+A_2$
$\frac {di_1(0+)} {dt}=0,428\cdot10^4\cos(-94,57)-18421A_1-5728A_2$
Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составляю систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+ послекоммутационной схемы.
$$r_2i_2(0+)+u_C(0+)+r_3i_3(0+)=e(0+)$$

$r_2i_2(0+)+L\frac {di_1(0+)} {dt}+r_1i_1(0+)=e(0+)$
$$i_2(0+)=i_1(0+)+i_3(0+)$$

ранее мной уже были найдены значения $$u_C(0+)=-27,157$$

B и

A, a

ох и замучалась я всё расписывать... из этой системы нахожу, что
$\frac {di_1(0+)} {dt}=1153,768$ A/c

подставляю значения, получаю
$-0,427=0,428\sin(-99,57)+A_1+A_2$
$1153,768=0,428\cdot10^4\cos(-94,57)-18421A_1-5728A_2$

отсюда нахожу
$$A_1=-0,118$$

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности
$i_1(t)=0,428\sin(10^4t-94,57)-0,118e^{-18421t}+0,117e^{-5728t}$

$u_C(t)=u_{Cnp}(t)+u_{Csv}(t)$

$u_C(t)=91,857\sin(10^4t-17,196)+A_1e^{-18421t}+A_2e^{-5728t}$
$\frac {du_C(t)} {dt}=91,857\cdot10^4\cos(10^4t-17,196)-18421A_1e^{-18421t}-5728A_2e^{-5728t}$

положим t=0+
$u_C(0+)=91,857\sin(-17,196)+A_1+A_2$
$\frac {du_C(0+)} {dt}=91,857\cdot10^4\cos(-17,196)-18421A_1-5728A_2$

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым условиям
$\frac {du_C(0+)} {dt}=\frac {i_3(0+)} {C}$
из ранее составленых по правилам Кирхгофа уравнений нахожу, что
$i_3(0+)=\frac {e(0+)} {r_3}-\frac {u_C(0+)} {r_3}-\frac {e(0+)} {r_3}+\frac {L} {r_3}\frac {di_1(0+)} {dt}+\frac {r_1} {r_3}i_1(0+)=$
$=-\frac {-27,157} {32}+\frac {22\cdot10^{-3}} {32}\cdot1153,768+\frac {77} {32}(-0,427)=0,614$
отсюда
$\frac {du_c(0+)} {dt}=\frac {i_3(0+)} {C}=\frac {0,614} {0,7\cdot10^{-6}}=877718,253$ B/c
м-да... слишком большая цифра. Уже ошиблась где-то. что же делать... доведу мысль до конца и буду искать ошибки.

подставляю значения в систему
$$-27,157=-27,157+A_1+A_2$$

отсюда нахожу
$$A_1=-0,017$$

Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости вышло вот какое
$u_c=91,857\sin(10^4t-17,196)-0,016e^{-18421t}+0,015e^{-5728t}$

Ну a c графиками напряжения и тока совсем беда. Какой-то каламбур! He получаются они у меня такими, какими, как мне кажется, они должны быть

Spontaneous · Сообщение **Spontaneous** » 26 июн 2012, 21:10

$e=125sin {10^4t}$ по условию. Методичковое $e=100sin {10^4t}$ рассчитано на задания, в которых не указаны $$\omega=10^4 \frac {ðàä} {ñ} $$ и $$E=125 Â$$.

yourdomain.com