Прошу помощи!

tudastuk · Сообщение **tudastuk** » 26 апр 2010, 07:38

Помогите, пожалуйста. Нужно скоро сдать задачу, a у меня никак не получается. Нужно показать, что множество линейных обратимых операторов всюду плотно в пространстве линейных непрерывных операторов в конечномерном пространстве, a в случае бесконечномерного банахова не является всюду плотным.
Заранее благодарю всех откликнувшихся.
Всюду плотное множество -значит для любого элемента A всего пространства существует последовательность $A_n$

элементов из множества, стремящаяся к A по норме. Возьмем произвольный оператор A
1)Он обратим,тогда не надо мучаться и взять послед-ть A,A,A,...
2)Он необратим (то есть 0-точка его спектра,=собственное число).Возьмем $A_n$

как в посте,они обратимы,так как ни одно из лямбд не является собственным числом. Норма разности $||A_n-A||=||\lambda_nE||=|\lambda_n|\to 0$ .
Вот и доказали что обратимые операторы всюду плотны.

Ian · Сообщение **Ian** » 26 апр 2010, 07:55

tudastuk писал(а):Source of the post
Помогите, пожалуйста. Нужно скоро сдать задачу, a у меня никак не получается. Нужно показать, что множество линейных обратимых операторов всюду плотно в пространстве линейных непрерывных операторов в конечномерном пространстве, a в случае бесконечномерного банахова не является всюду плотным.
Заранее благодарю всех откликнувшихся.

Первую половину например,так.Для необратимого линейного оператора A на конечномерном пространстве (непрерывны там все) рассмотреть $A_n=(A-\lambda_nE)$ , $\lambda_n\to 0$ ,и $\lambda_n$ ни при одном n не попадает в спектр A, который как известно содержит не более N точек (N-размерность)

Ian · Сообщение **Ian** » 26 апр 2010, 08:43

Ian писал(а):Source of the post
Первую половину например,так.

Насчет второй половины. Рассматриваю $\mathbb{L}_1\left[0,1\right]$ и оператор взятия первообразной $Af(t)=\int_0^tf(x)dx$ очевидно необратимый, но 1)непонятно,приближается ли он обратимыми. 2)Может,есть более классический пример?

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 26 апр 2010, 19:00

Ian писал(а):Source of the post
Насчет второй половины. Рассматриваю $\mathbb{L}_1\left[0,1\right]$ и оператор взятия первообразной $Af(t)=\int_0^tf(x)dx$ очевидно необратимый, но 1)непонятно,приближается ли он обратимыми. 2)Может,есть более классический пример?

По определению оператор $$A$$

называется обратимым, если для любого $y\in Im A$ уравнение $$Ax=y$$

имеет ровно одно решение. Так как $\int_0^tf(x)dx$ тождественно равен нулю только при $f\equiv 0$ , то получается, что $$A$$

является обратимым.

Ian · Сообщение **Ian** » 26 апр 2010, 20:20

Dm13 писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Насчет второй половины. Рассматриваю $\mathbb{L}_1\left[0,1\right]$ и оператор взятия первообразной $Af(t)=\int_0^tf(x)dx$ очевидно необратимый, но 1)непонятно,приближается ли он обратимыми. 2)Может,есть более классический пример?

По определению оператор называется обратимым, если для любого $y\in Im A$ уравнение имеет ровно одно решение. Так как $\int_0^tf(x)dx$ тождественно равен нулю только при $f\equiv 0$ , то получается, что является обратимым.

Пусть так.Мой пример фтопку. Ho у меня сомнение. B данной задаче обязан ли обратный оператор быть непрерывным.Это само собой не следует из его существования на ImA, но раз c самого начала нас ограничили в пространстве непрерывных операторов, так и ненепрерывный обратный -это как его и нет совсем. Вопрос o трактовке условия.

yourdomain.com