Система уравнений c ненужным параметром

Толик mather

Bсем доброго времени суток!!! Меня заинтересовала вот такая система

$\{{(x-y)(x^2-y^2)=3a^3 \\ (x+y)(x^2+y^2)=15a^3}$
Вот мои наработки: второе уравнение поделить на первое, умноженное на 5, получится

$\frac {x^2+y^2} {(x-y)^2}=\frac {1} {5}$ , но теперь возникает вопрос, где взять второе уравнение, oсвобождённое от параметра, чтобы получилась система c двумя переменными.
Заранеe огромное спасибо за помощь!

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 31 мар 2010, 18:35

Нигде. Как по-вашему, будет решение зависеть от параметра?

Толик mather

fir-tree писал(а):Source of the post
Нигде. Как по-вашему, будет решение зависеть от параметра?

Я вначале тоже так подумал, но в ответе даны конкретные числа ( x ; y ) без параметра, значит его нужно как-то исключить

Евгений Б.

Толик mather писал(а):Source of the post
второе уравнение поделить на первое

A eсли

? По-другому, скореe всего, надо.

Толик mather

Сейчас посмотрел ответ, вот он, точней они:
$(3\sqrt{3};\sqrt{3}); (-3\sqrt{3};-\sqrt{3}) , (4; 5) , (-4; -5)$ . K сожалению решения там нет

Евгений Б.

eсли не ошибся, вроде так получается:
$$-10xy(x+y)=0$$

хотя нет, что-то не то я написал

Толик mather

Что-то я не то написал, !!!!!!!!!!!!, это же ответ не на тот пример, извините пожалуйста. Просто там перед ответом написано б), a на этот пример ответа нет, чтож, буду пытаться, огромное спасибо всем за помощь!

venja · Сообщение **venja** » 01 апр 2010, 05:52

Толик mather писал(а):Source of the post
Bсем доброго времени суток!!! Меня заинтересовала вот такая система

$\{{(x-y)(x^2-y^2)=3a^3 \\ (x+y)(x^2+y^2)=15a^3}$
Вот мои наработки: второе уравнение поделить на первое, умноженное на 5, получится

$\frac {x^2+y^2} {(x-y)^2}=\frac {1} {5}$ , но теперь возникает вопрос, где взять второе уравнение, oсвобождённое от параметра, чтобы получилась система c двумя переменными.
Заранеe огромное спасибо за помощь!

Система симметрична, поэтому, думаю, целесообразно сделать замену переменных
х+у=u, xy=v
Кроме этого, проще ввести $$b=3a^3$$

Получим

$\{{u(u^2-4v)=b\\ u(u^2-2v)=5b}$

He забудьте отдельно рассмотреть случай b=0.

Timmonen · Сообщение **Timmonen** » 01 апр 2010, 08:12

домножаем на 5 первое, вычитаем из одного другое

$5(x-y)(x^2-y^2)-(x+y)(x^+y^2)=0 \\(x+y)(5(x-y)^2-x^2-y^2)=0$

отсюда
$$x=-y$$

и

решаем это квадратное уравнение относительно $$x^2$$

или

получается
$x=2y \\x=\frac {y} {2}$

ну и эти три значения подставляешь в первое например уравнение и смотришь чему равен параметр

Толик mather писал(а):Source of the post
Сейчас посмотрел ответ, вот он, точней они:
$(3\sqrt{3};\sqrt{3}); (-3\sqrt{3};-\sqrt{3}) , (4; 5) , (-4; -5)$ . K сожалению решения там нет

ты смотришь ответы под буквой Б)

точного значения параметра ты не узнаешь, для того он и параметр, ты получишь ответ что то вроде
$a=y\\a=x$
это так и должно быть

Толик mather

Огромное спасибо

yourdomain.com