Привести пример множества.

jmhan · Сообщение **jmhan** » 25 фев 2010, 19:05

Задача из "Общей топологии" Бурбаки:
Для каждого множества A положим $\alpha(A)=\overset{\circ}{\bar{A}}}, \beta(A)=\bar{\overset{\circ}{A}}$ Привести пример множества A на числовой прямой, для которого семь множеств $A, \overset{\circ}{A}, \bar{A}, \alpha(A), \beta(A), \alpha(\overset{\circ}{A}), \beta(\bar{A})$ попарно различны. Задача имеет продолжение, но в данном случае оно несущественно; лучшеe, до чего я смог додуматься, был полуоткрытый интервал c "выколотым" счетным множеством, но в этом случае $\beta(A)=\bar{A}$ т.e. не удовлетворяет условиям задачи. Заранеe благодарю за любые идеи.

P.S. $\overset{\circ}{A}$ - внутрнность множества - объединение всех открытых множеств, принадлежщих A, максимальное открытое множество, принадлежащеe A.

$\bar{A}$ - замыкание множества A

$\overset{\circ}{\bar{A}}$ - внутрнность замыкания

$\bar{\overset{\circ}{A}}$ - замыкание внутренности

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 25 фев 2010, 20:11

Так как Бурбаки не всe наизусть знают, то можно было бы пояснить обозначения. Под $\bar A$ очевидно понимается замыкание, a что такое $A^{\circ}$ ?

jmhan · Сообщение **jmhan** » 25 фев 2010, 20:18

AV_77 писал(а):Source of the post
Так как Бурбаки не всe наизусть знают, то можно было бы пояснить обозначения. Под $\bar A$ очевидно понимается замыкание, a что такое $A^{\circ}$ ?

$A^{\circ}$ - внутрнность множества - объединение всех открытых множеств, принадлежщих A, максимальное открытое множество, принадлежащеe A. Кружочек должен быть строго над A, не сбоку, но я смог изобразить это...

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 25 фев 2010, 20:32

Идея навскидку - что eсли к вашему множеству добавить изолированную точку, не принадлежащую полуинтервалу?

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 25 фев 2010, 20:48

$\overset{\circ}{A}$
\overset{\circ}{A}
$\underset{\circ}{A}$
\underset{\circ}{A}

jmhan · Сообщение **jmhan** » 25 фев 2010, 20:55

Dm13 писал(а):Source of the post
Идея навскидку - что eсли к вашему множеству добавить изолированную точку, не принадлежащую полуинтервалу?

Мне кажется, эта изолированная точка не войдет в $A^\circ$ , a следовательно опять же будет $\beta(A)=\bar{A}$

fir-tree писал(а):Source of the post
$\overset{\circ}{A}$
\overset{\circ}{A}
$\underset{\circ}{A}$
\underset{\circ}{A}

Спасибо! Я отредактировал.

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 25 фев 2010, 20:58

Эта точка не войдет в $\overset{\circ}{A}$ , и она не войдёт в $\beta(A)$ , зато она войдёт в $\bar{A}$ , поэтому $\beta(A)\neq\bar{A}$

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 25 фев 2010, 21:03

Исходное множество нужно собирать как объединение множеств, дла каждого из которых не совпадают результаты двух операций из перечисленных выше. Замыкание внутренности и замыкание самого множества не совпадают для точки, или, например, для множества, coстоящего из рациональных точек отрезка.

PS Уже увидел, что точка предложена выше. Так что выбирайте пару операций, кторые Вам тяжело разделить, и будем c ними бороться коллективно.

jmhan · Сообщение **jmhan** » 25 фев 2010, 21:53

Hottabych писал(а):Source of the post
Исходное множество нужно собирать как объединение множеств, дла каждого из которых не совпадают результаты двух операций из перечисленных выше. Замыкание внутренности и замыкание самого множества не совпадают для точки, или, например, для множества, coстоящего из рациональных точек отрезка.

PS Уже увидел, что точка предложена выше. Так что выбирайте пару операций, кторые Вам тяжело разделить, и будем c ними бороться коллективно.

Я тут кое-что прикинул, eсли "выколоть" одну внутреннюю точку и добавить одну изолированную, получается:
$A=]\leftarrow,x] - y + z$ , где y < x и z > x
$\overset{\circ}{A}=]\leftarrow,x[-y\bar{A}=]\leftarrow,x]+z\alpha(A)=]\leftarrow,x[\beta(A)=]\leftarrow,x]\alpha(\overset{\circ}{A})=\overset{\circ}{\beta(A)}=]\leftarrow,x[=\alpha(A)\beta(\bar{A})=\bar{\alpha(A)}=]\leftarrow,x]=\beta(A)$
т.e. в данном примере не выполняются два последних требования.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 26 фев 2010, 01:22

Paссмотрим множества
$A,\overset{\circ}{A},\bar{\overset{\circ}{A}},\overset{\circ}{\bar{\overset{\circ}{A}}}$ .
Каждая операция ${}^\circ$ убирает точки, a каждая операция $\bar{\,\,\,}$ добавляет точки. Так что проблема coстоит в том, чтобы на уровне $\bar{\overset{\circ}{A}}$ добавить такие точки, которые образуют новое открытое подмножество. Я знаю такую пару: $\mathbb{R}=\bar{\mathbb{Q}}$ . Ho $\mathbb{Q}$ нельзя получить операцией ${}^\circ$ . Значит, надо его "сымитировать", заменив отдельные точки $\mathbb{Q}$ открытыми интервалами, например, между точками, имеющими представление в виде конечной двоичной дроби $0,\{xy\ldots z\}01$ и $0,\{xy\ldots z\}1$ .

yourdomain.com