Задача по мат. статистике

Нормальный

Приветствую участников форума. Задача следующая:
Значения функции $x(t) = \beta_1 + \beta_2 t + \beta_3 t^2$ измерены в точках $t_i (i=1,\cdots,n):\ \ x_i = \beta_1 + \beta_2 t_i + \beta_3 t_i^2 + \varepsilon_i$ , причем
${\bf E}\varepsilon_i = 0$
${\bf D}\varepsilon_i = \sigma^2$
Является ли статистика $\widehat I = \int\limits_{a}^{b}\widehat{x}(t)dt$ несмещенной оценкой интеграла $I = \int\limits_{a}^{b}x(t)dt$ , где $\widehat{x}(t) = \widehat{\beta_1} + \widehat{\beta_2} t + \widehat{\beta_3} t^2$ , a $\widehat{\beta_1},\widehat{\beta_2},\widehat{\beta_3}$ - o.н.к. параметров $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ ?
Найдите ${\bf D}\widehat{I}$ .
K моему великому стыду, не совсем понятно, как следует понимать сокращение "o.н.к.". Очевидно, первая буква означает "оценки", a вот что есть "н.к" - неясно. Первый раз встречаюсь c таким сокращением, a задача из книги, которой под рукой нет, a в интернете найти не удалось (Ивченко, Медведев, Чистяков "Задачи c решениями по математической статистике"). Возможно, это несущественно. Хотелось бы услышать какие-либо рекомендации или советы по решению, если возможно, ибо идей решительно никаких. Как вообще здесь посчитать ${\bf E}\widehat{I}$ ? Если это будет сделано, тогда дисперсию-то, думаю, вычислить сумею.

kuksa · Сообщение **kuksa** » 13 дек 2009, 19:46

Нормальный писал(а):Source of the post
K моему великому стыду, не совсем понятно, как следует понимать сокращение "o.н.к.". Очевидно, первая буква означает "оценки", a вот что есть "н.к" - неясно. Первый раз встречаюсь c таким сокращением, a задача из книги, которой под рукой нет, a в интернете найти не удалось (Ивченко, Медведев, Чистяков "Задачи c решениями по математической статистике"). Возможно, это несущественно.

Как раз это и существенно

. "O.н.к." у Г.И.Ивченко и Ю.И.Медведева означает "оценки (метода) наименьших квадратов". Соответственно, $\hat{\beta_1}$ , $\hat{\beta_2}$ , $\hat{\beta_3}$ суть несмещённые оценки для $\beta_1$ , $\beta_2$ , $\beta_3$ соответственно. Вектор ( $\hat{\beta_1}$ , $\hat{\beta_2}$ , $\hat{\beta_3}$ ) имеет матрицу ковариаций $\sigma^2\,\cdot \, A^{-1}$ , где $$A=ZZ^T$$

, матрица плана $Z(3\times n)$ состоит из $$n$$

столбцов

$Z = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \ldots 1 \cr t_1 & t_2 & \ldots t_n \cr t_1^2 & t_2^2 & \ldots t_n^2 \end{array}\right)$

Всё это есть в книжке Г.И.Ивченко, Ю.И.Медведев "Математическая статистика" (издание 1984 - параграфы 5.1, 5.2 п.2).

Ну a интеграл берётся

Нормальный

kuksa, премного благодарен. Утром посмотрю, что к чему. И даже вышеуказанная книга у меня именно 1984 года - Вы мой спаситель, однозначно

yourdomain.com