Bce примеры на производную сложной функции. Общее правило: если
![$$y=f(g(\ldots h(x)))$$ $$y=f(g(\ldots h(x)))$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3Df%28g%28%5Cldots%20h%28x%29%29%29%24%24)
,
то
![$$y'=f'\cdot g'\cdot\ldots\cdot h'$$ $$y'=f'\cdot g'\cdot\ldots\cdot h'$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%26%2339%3B%3Df%26%2339%3B%5Ccdot%20g%26%2339%3B%5Ccdot%5Cldots%5Ccdot%20h%26%2339%3B%24%24)
.
Это формула для запоминания. A вот развёрнутая, чтобы было понятно, что куда подставлять:
![$$y'=f'(g(\ldots h(x)))\,\cdot\,g'(\ldots h(x))\,\cdot\ldots\cdot\,h'(x)$$ $$y'=f'(g(\ldots h(x)))\,\cdot\,g'(\ldots h(x))\,\cdot\ldots\cdot\,h'(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%26%2339%3B%3Df%26%2339%3B%28g%28%5Cldots%20h%28x%29%29%29%5C%2C%5Ccdot%5C%2Cg%26%2339%3B%28%5Cldots%20h%28x%29%29%5C%2C%5Ccdot%5Cldots%5Ccdot%5C%2Ch%26%2339%3B%28x%29%24%24)
.
Покажу на примере 4. Исходная формула:
![$$y=\sqrt{\sin(\mathrm{arccos}\,\frac{1}{x^2})}$$ $$y=\sqrt{\sin(\mathrm{arccos}\,\frac{1}{x^2})}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Csqrt%7B%5Csin%28%5Cmathrm%7Barccos%7D%5C%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%29%7D%24%24)
.
Её можно представить себе как композицию четырёх функций (можно упростить
![$$\sin\,\mathrm{arccos}$$ $$\sin\,\mathrm{arccos}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csin%5C%2C%5Cmathrm%7Barccos%7D%24%24)
, но пример не на это):
![$$y=f(g(h(k(x))))$$ $$y=f(g(h(k(x))))$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3Df%28g%28h%28k%28x%29%29%29%29%24%24)
![$$f(g)=\sqrt{g}$$ $$f(g)=\sqrt{g}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28g%29%3D%5Csqrt%7Bg%7D%24%24)
![$$g(h)=\sin\,h$$ $$g(h)=\sin\,h$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24g%28h%29%3D%5Csin%5C%2Ch%24%24)
![$$h(k)=\mathrm{arccos}\,k$$ $$h(k)=\mathrm{arccos}\,k$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24h%28k%29%3D%5Cmathrm%7Barccos%7D%5C%2Ck%24%24)
![$$k(x)=\frac{1}{x^2}$$ $$k(x)=\frac{1}{x^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24k%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%24%24)
Теперь записываем их производные:
![$$f'(g)=\frac{1}{2\sqrt{g}}$$ $$f'(g)=\frac{1}{2\sqrt{g}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%28g%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bg%7D%7D%24%24)
(производная от степени 1/2)
![$$g'(h)=\cos\,h$$ $$g'(h)=\cos\,h$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24g%26%2339%3B%28h%29%3D%5Ccos%5C%2Ch%24%24)
![$$h'(k)=-\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$$ $$h'(k)=-\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24h%26%2339%3B%28k%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-k%5E2%7D%7D%24%24)
![$$k'(x)=-\frac{2}{x^3}$$ $$k'(x)=-\frac{2}{x^3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24k%26%2339%3B%28x%29%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D%24%24)
(производная от степени -2)
Теперь в каждой производной подставляем аргументы от того, от чего бралась вначале сама промежуточная функция. To есть вместо
![$$f'(g)$$ $$f'(g)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%28g%29%24%24)
записываем
![$$f'(g(h(k(x))))$$ $$f'(g(h(k(x))))$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%28g%28h%28k%28x%29%29%29%29%24%24)
, подставляя обратно все функции, получая
![$$f'(g)=\frac{1}{2\sqrt{\sin(\mathrm{arccos}\,\frac{1}{x^2})}}$$ $$f'(g)=\frac{1}{2\sqrt{\sin(\mathrm{arccos}\,\frac{1}{x^2})}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%28g%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%5Csin%28%5Cmathrm%7Barccos%7D%5C%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%29%7D%7D%24%24)
,
и так далее. Это самый долгий этап, и самый скучный, потому что нужно просто переписывать кусочки первоначальной функции. Надо делать его внимательно и не наделать ошибок.
И наконец, всё это выстраиваем в цепочку, умножая. После тренировки всё вышеперечисленное делается в уме, a окончательную цепочку можно просто последовательно выписывать:
![$$y'=\frac{1}{2\sqrt{\sin(\mathrm{arccos}\,\frac{1}{x^2})}}\,\cdot\,\cos(\mathrm{arccos}\,\frac{1}{x^2})\,\cdot\,\frac{-1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x^2})^2}}\,\cdot\,\frac{-2}{x^3}$$ $$y'=\frac{1}{2\sqrt{\sin(\mathrm{arccos}\,\frac{1}{x^2})}}\,\cdot\,\cos(\mathrm{arccos}\,\frac{1}{x^2})\,\cdot\,\frac{-1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x^2})^2}}\,\cdot\,\frac{-2}{x^3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%26%2339%3B%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%5Csin%28%5Cmathrm%7Barccos%7D%5C%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%29%7D%7D%5C%2C%5Ccdot%5C%2C%5Ccos%28%5Cmathrm%7Barccos%7D%5C%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%29%5C%2C%5Ccdot%5C%2C%5Cfrac%7B-1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%29%5E2%7D%7D%5C%2C%5Ccdot%5C%2C%5Cfrac%7B-2%7D%7Bx%5E3%7D%24%24)
.
Иногда результат получается ещё упростить, но иногда - нет.