Определенный интеграл нашел

Георгий

Вчера мне понадобилось взять определенный интеграл

$\int _{0}^{ 2.0}\!{x}^{x}{dx}$

B Мапле сделать это удалось, только поставив точки после чисел, обозначающих пределы интегрирования (как однажды предлагал Хоттабыч). Ho вот неопределенный интеграл взять так и не смог. Берется он, или нет? A функция ведь гладкая, красивая!

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 06 фев 2009, 15:47

Георгий писал(а):Source of the post
Вчера мне понадобилось взять определенный интеграл

$\int _{0}^{ 2.0}\!{x}^{x}{dx}$

B Мапле сделать это удалось, только поставив точки после чисел, обозначающих пределы интегрирования (как однажды предлагал Хоттабыч). Ho вот неопределенный интеграл взять так и не смог. Берется он, или нет? A функция ведь гладкая, красивая!

B элементарных точно не берётся, a численно- легко.

Георгий

И даже через спецфункции невозможно? Или, допустим, через ряды?

Удивительная кривая! Минимум находится при $\frac{1}{e}$

Draeden · Сообщение **Draeden** » 06 фев 2009, 16:20

Любой неопредлённый интеграл можно записать через спецфункции, смотря какие спецфункции использовать.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 06 фев 2009, 16:21

Георгий писал(а):Source of the post
И даже через спецфункции невозможно? Или, допустим, через ряды?

Удивительная кривая! Минимум находится при $\frac{1}{e}$

Ну в ряд Маклорена разложите и его почленно интегрируйте.

Георгий

Мне проще было разложить в ряд Тейлора и проинтегрировать: окончательно получил:

$x-1+{\frac {1}{2}} \left( x-1 \right) ^{2}+{\frac {1}{3}} \left( x-1 \right) ^{3}+{\frac {1}{8}} \left( x-1 \right) ^{4}+{\frac {1}{15}} \left( x-1 \right) ^{5}+{\frac {1}{72}} \left( x-1 \right) ^{6}+{\frac {3}{280}} \left( x-1 \right) ^{7}-{\frac {1}{960}} \left( x-1 \right) ^{8}+$
$+{\frac {59}{22680}} \left( x-1 \right) ^{9}-{\frac {71}{50400}} \left( x-1 \right) ^{10}+O \left( \left( x-1 \right) ^{11} \right)$

Draeden · Сообщение **Draeden** » 06 фев 2009, 16:28

Это тоже приближённо.

Георгий

A самый короткий и точный метод есть?

Ну сейчас я получил приближение 2.826631394 (a точное было 2.8338767). B принципе, неплохо. Если ряд увеличить раза в два, совсем будет прилично.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 06 фев 2009, 16:33

Зачем вам это вообще надо ? Есть например такой интеграл:

$\int_1^x \frac{dx}{\ln x}$

Раз уж он не выражается через уже известные функции то решили придумать для него обозначение: $\text{li} x$ . Это дало что то новое ? Ничего. Здесь тот же случай: можно извратиться и выразить его через какие нибудь функции Мейера, a можно и сделать специальное обозначение. B любом случае ответ будет бесполезен.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 06 фев 2009, 16:40

Георгий писал(а):Source of the post
Мне проще было разложить в ряд Тейлора и проинтегрировать: окончательно получил:

$x-1+{\frac {1}{2}} \left( x-1 \right) ^{2}+{\frac {1}{3}} \left( x-1 \right) ^{3}+{\frac {1}{8}} \left( x-1 \right) ^{4}+{\frac {1}{15}} \left( x-1 \right) ^{5}+{\frac {1}{72}} \left( x-1 \right) ^{6}+{\frac {3}{280}} \left( x-1 \right) ^{7}-{\frac {1}{960}} \left( x-1 \right) ^{8}+$
$+{\frac {59}{22680}} \left( x-1 \right) ^{9}-{\frac {71}{50400}} \left( x-1 \right) ^{10}+O \left( \left( x-1 \right) ^{11} \right)$

Bo-первых ряд Маклорена- это и есть ряд Тейлора при a=0. Bo-вторых посмотрите, что означает таинственный символ O, и в-третьих проверьте выкладки, не может быть, что интеграл $$x\cdot ln(x)$^k$ взялся в элементарных функциях.

yourdomain.com