Иррациональное уравнение

metil · Сообщение **metil** » 02 июн 2007, 14:53

KTo может в пон-к на ЕГЭ помоч?

bot · Сообщение **bot** » 02 июн 2007, 15:02

Да забаньте его - это я про metila!!!!

2Johan - это неполный ответ.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 02 июн 2007, 15:04

Еще $\pm\sqrt2$

bot · Сообщение **bot** » 02 июн 2007, 15:07

Угу.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 02 июн 2007, 15:13

Bo первых очевидно что х=0 решение.
Bo вторых очевидно, что если х - решение, то -х решение
Поэтому будем рассматривать случай х>0
Очевидно что при $x\in(0;\sqrt[4]2]$ решений нет, поскольку левая часть положительна, a правая отрицательна.
Рассмотрим функции
$f_1(x)=\sqrt[5]{x^3+2x}$
$f_2(x)=\sqrt[3]{x^5-2x}$
Лекго убедится что при $x>\sqrt[4]{2}$ обе они монотонно возрастают. Следовательно уравнение $$f_1(x)=f_2(x)$$

имеет единственный корень
Попробуем его подобрать. Перепишем уравнение в виде
$x^{1/5}(x^2+2)^{1/5}=x^{1/3}(x^4-2)^{1/3}$ Будем подбирать корень так чтобы выражения в скобках были каким нибудь числом вида
$a^{1/b}$ . Это наталкивает на мысль проверить $x=\sqrt2$ :search:

bot · Сообщение **bot** » 02 июн 2007, 15:36

Годится.

Идею монотонности можно реализовать иначе.
Обозначим левую и правую части переменной $$t$$

. Тогда имеем систему:

$\{ x^3+2x=t^5 \\ x^5-2x=t^3$ .

Складывая, получаем $$x^3+x^5=t^3+t^5$$

.

Так как функция $$x^3+x^5$$

строго монотонна, то $$x=t$$

.

Подставляем в систему и ага:

$$x(x^4-x^2-2)=0$$

.

bot · Сообщение **bot** » 02 июн 2007, 16:10

Стоп, не годится

Лекго убедится что при $x>\sqrt[4]{2}$ обе они монотонно возрастают. Следовательно уравнение имеет единственный корень

He, не следовательно.

P.S. Упс, хотел добавить в предыдущее, a получилось новое.
Что-то я тут крестика не вижу, удалять свое низзя, даже если оно последнее?

yourdomain.com