Пожалуйста, посмотрите и что нибудь скажите!

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 19 май 2007, 13:18

Мне надо решить несколько задач по геометрии!!! Koe-что уже решил, но вот это пока совсем не идёт!!!
B правильном треугольнике ABC точки M и N лежат соответственно на сторнах AB и BC.
AM=MN, BN=1/3BC. Найти длину отрезка CM, если сторона треугольника a.
Может у вас появиться какая-то идея!!! Я пока не знаю за что взяться!!!

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 19 май 2007, 16:38

Увы что без картинки..
введем систему координат, пусть C - начало координат, ось абсцисс направлена от C к A, ось ординат направленна "вверх" (то есть в направлении вершины), перпендикулярно оси X
Запишем координаты точек

$$M(x,y)$$

$N(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$

$$A(1,0)$$

По условию:

$$AM=MN$$

значит

$AM^2=(x-1)^2+y^2=MN^2=(x-\frac{1}{3})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{3})^2$

$x^2-2x+1+y^2=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}+y^2-\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}$

$\frac{5}{9}=\frac{4}{3}x-\frac{2}{\sqrt{3}}y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{3}(x-1)=\frac{4}{3}x+2x-2=\frac{10}{3}x-2$

$x=\frac{23}{30}$

$y=\frac{7\sqrt{3}}{30}$

$CM=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{529+147}{900}}=\sqrt{\frac{676}{900}}=\frac{26}{30}$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 19 май 2007, 16:41

Pavlukhin писал(а):Source of the post
Увы что без картинки..
введем систему координат, пусть C - начало координат, ось абсцисс направлена от C к A, ось ординат направленна "вверх" (то есть в направлении вершины), перпендикулярно оси X
Запишем координаты точек

$N(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$

По условию:

значит

$AM^2=(x-1)^2+y^2=MN^2=(x-\frac{1}{3})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{3})^2$

$x^2-2x+1+y^2=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}+y^2-\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}$

$\frac{5}{9}=\frac{4}{3}x-\frac{2}{\sqrt{3}}y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{3}(x-1)=\frac{4}{3}x+2x-2=\frac{10}{3}x-2$

$x=\frac{23}{30}$

$y=\frac{7\sqrt{3}}{30}$

$CM=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{529+147}{900}}=\sqrt{\frac{676}{900}}=\frac{26}{30}$

Спасибо, но я ничего не понимаю!!! кто нибудь скиньте этот уникальный рисунок, a то я совсем запутался!!!

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 19 май 2007, 18:47

Картинка

кстати скажу что пока решал принял длину стороны не за a , a за единицу, так что ответ будет
$\frac{26}{30}a=\frac{13}{15}a$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 19 май 2007, 19:13

Такой способ я вижу в первый раз!!! Объяснити, как вы находите координаты точек???

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 19 май 2007, 19:25

хех....на самом деле такой способ зачастую очень громоздкий, но тем не менее практически всегда позволяет решать задачи c ходу, для меня он стал хорошим выходом в 9 м классе на олимпиадах и при решении билетных задач...
минут через 20 прикреплю к этому сообщению рисунок который обьяснит как я нахожу координаты..

вот такой вот рисунок....

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 19 май 2007, 19:47

Pavlukhin писал(а):Source of the post
хех....на самом деле такой способ зачастую очень громоздкий, но тем не менее практически всегда позволяет решать задачи c ходу, для меня он стал хорошим выходом в 9 м классе на олимпиадах и при решении билетных задач...
минут через 20 прикреплю к этому сообщению рисунок который обьяснит как я нахожу координаты..

Буду ждать!!! Очень интересно!!

bot · Сообщение **bot** » 18 июн 2007, 17:37

Сторону треугольника принимаем за 1, то есть считаем, что a - это 1 a(ршин) и во всех вычислениях единицу измерения длины аршин опускаем.

To, что сделал Pavlukhin, можно изобразить на комплексной плоскости.
Помещаем наш треугольник на комплексную плоскость так, что точки
A, C и B попали соответственно в $0, \ 1$ и $e^{{\pi}{3}i}$
(У Pavlukhin'a начало в точке C).
Тогда точки M и N соответственно попадут в $xe^{\frac{\pi}{3}i}$ и $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}e^{\frac{\pi}{3}i}$ .
Расстояние на комплексной плоскости между точками $$z$$

и

- это модуль их разности $$|z-z'|$$

. Из равенства AM=MN получаем уравнение из которого находим x, после чего находим CM.
Вычисления будут практически те же.

Если выбирать координатное решение, то я бы выбрал косоугольную систему координат - там вычислений будет несколько меньше.
Положим $i=\vec{AC}, \ j=\vec{AB}$ и начало координат поместим в точку A.
Без труда вычисляем координаты точек в полученном репере:
$A(0 ; 0), \ B(0; 1), \ C(1; 0), M(0; x), \ N(\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .
При подсчёте расстояний между точками используем скалярное произведение и должны учитывать, что скалярное произведение векторов $$i$$

и

равно $\frac{1}{2}$ , a не ноль, как в прямоугольной системе. Это маленькое усложнение c лихвой компенсируется лёгкостью вычисления координат и отсутствием там и сям $\sqrt{3}$ .

Ну и наконец без всяких координат, типа по школьному берём на вооружение теорему косинусов.
B треугольнике ABN нам известны две стороны и угол между ними, отсюда вычисляем AN и его половину AO. Снова по теореме косинусов из этого же треугольника вычисляем косинус угла BAN. Так как треугольник AMN равнобедренный, то AOM - прямоугольный. Зная в нём катет AO и косинус прилежащего угла, вычисляем гипотенузу AM. Наконец, вычисляем MC по теореме косинусов из треугольника AMC.

Два последних сценария я просчитал и в обоих случаях получил тот же ответ $\frac{13}{15}a$

bot · Сообщение **bot** » 18 июн 2007, 19:46

Упс-c - опять дубль! Пишу поверху, поскольку стереть не могу.

andrej163 писал(а):Source of the post
Интересно, только ученику 8 класс, мне кажется таким способом не решить!!!!
A зачем у вас 2 ответа ( одинаковых) написано??? :blink:

Теорему косинусов в 8 классе не проходят?

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 18 июн 2007, 20:16

Интересно, только ученику 8 класс, мне кажется таким способом не решить!!!!
A зачем у вас 2 ответа ( одинаковых) написано??? :blink:

yourdomain.com