Формулы для решения Диофантовых уравнений.

omega · Сообщение **omega** » 17 фев 2015, 09:14

Система уравнений там есть, формулу для C(im,jm) видите? Так вот, этих элементов ровно 81, имеем ровно 81 уравнение.
Число уравнений сократить никак нельзя.

individ.an писал(а):Source of the post Если хотим знать чтоб решения были бы из простых чисел. Мы должны представлять себе каким образом простые числа определяются.

Ну, как определяются простые числа, мы каким-то образом представляем
Если вы не можете параметризовать это представление, то и не надо. Мне нужны сами простые числа, а не их параметрические представления.
Так, значит с гением пока не получилось

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 09:25

omega писал(а):Source of the post Система уравнений там есть, формулу для C(im,jm) видите? Так вот, этих элементов ровно 81, имеем ровно 81 уравнение.

Я такую запись не понимаю. Она даёт слишком много возможных вариантов.

Число уравнений сократить никак нельзя.

Не может быть. Если число уравнений больше неизвестных - какие то обязательно будут эквивалетны друг другу.
Иначе тогда какие то числа должны принимать одновременно разные значения.

Ну, как определяются простые числа, мы каким-то образом представляем

Не может быть!
Надеюсь не думаете, что делятся только на 1 и на самого себя?

Если вы не можете параметризовать это представление, то и не надо. Мне нужны сами простые числа, а не их параметрические представления.
Так, значит с гением пока не получилось

Одному интересно одно, другому другое.

omega · Сообщение **omega** » 17 фев 2015, 10:01

individ.an писал(а):Source of the post Я такую запись не понимаю. Она даёт слишком много возможных вариантов.

И что же вы не понимаете в этой записи:
$$C(im,jm)=A(i,j)+K(Bm-1)$$

, где K – любое натуральное число
???
Что значит: "она даёт слишком много вариантов"?
Эта запись даёт ровно 81 равенство, в левой части этих 81 равенств записаны искомые элементы квадрата C(im,jm), этих элементов ровно 81. В правой части равенств записаны выражения, зависящие от 19 переменных: A(i,j) (9 штук), Bm (9 штук) и K.
Вот значения этих переменных требуется найти. Но это не могут быть произвольные значения; перменные A(i,j) - элементы одного ассоциативного квадрата Стенли 3х3, переменные Bm - элементы другого ассоциативного квадрата Стенли 3х3.
Значение переменной K может быть любым целым числом.
И что же здесь непонятно?
О представлении простых чисел...
Ну, как их представляют, надеюсь, вам известно, - хоть каким-нибудь образом. Не так ли? Все математики мира работают над простыми числами, и при этом, наверное, как-то их представляют
На том же форуме dxdy.ru я видела даже и формулы представления простых чисел, правда, очень громоздкие. Представлял эти формулы VAL.
Во всяком случае, математики научились генерировать простые числа огромной величины (30-значные, например). Значит, уж как-то они их представляют

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 12:13

omega писал(а):Source of the post
И что же вы не понимаете в этой записи:
, где K – любое натуральное число
Эта запись даёт ровно 81 равенство, в левой части этих 81 равенств записаны искомые элементы квадрата C(im,jm), этих элементов ровно 81. В правой части равенств записаны выражения, зависящие от 19 переменных: A(i,j) (9 штук), Bm (9 штук) и K.
Вот значения этих переменных требуется найти. Но это не могут быть произвольные значения; перменные A(i,j) - элементы одного ассоциативного квадрата Стенли 3х3, переменные Bm - элементы другого ассоциативного квадрата Стенли 3х3.
Значение переменной K может быть любым целым числом.

Хотя я кажется начинаю понимать в чём проблема. Надо хорошо записать саму систему уравнений.
Когда имеешь такую запись она для программ хороша. Когда решаешь уравнение лучше записать по другому.
Красиво записанное уравнение - половина решения.

То есть не надо говорить - эти такие квадраты те другие.
Во первых я вообще не знаю, что за такие. Во вторых для решения системы это и не нужно знать.
Надо аккуратно записать каждое уравнение. И там можно внести упрощения.

Хотя в данном случае как понял будет 82 неизвестных на 81 уравнение. Решений бесконечно много, но вопрос в том как извлечь от туды простые решения?
Хотя думаю надо использовать Вольфрам. Все преобразования алгебраические на него спихнуть. Тем более там одни линейные уравнения.
Получит формулу решения и потом перебором проверить какие простые есть.

omega · Сообщение **omega** » 17 фев 2015, 12:36

individ.an писал(а):Source of the post Во первых я вообще не знаю, что за такие. Во вторых для решения системы это и не нужно знать.

Ошибаетесь. Нужно знать!
Переменные A(i,j) (9 штук) и Bm (9 штук) не могут быть любыми целыми числами, это элементы ассоциативных квадратов Стенли 3х3. Только так и никак иначе!
Далее, свободных переменных у нас только 19. C(im, jm) - это зависимые переменные, они вычисляются по заданным свободным переменным.
Вы можете записывать систему как вам нравится, главное, чтобы не изменить суть.
Да, решений будет бесконечно много. Но мне нужно только одно, в котором все элементы C(im,jm) будут различные простые числа.
Других решений мне не нужно.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 18 фев 2015, 05:44

12d3 писал(а):Source of the post Мне пришел в голову совершенно топорный метод поиска решений(не всех), давайте проверим на каком-нибудь уравнении, которое вы еще в этой теме не упоминали. Желательно не суперсложное.)

Пожалуйста!Вот уравнение в этой теме. http://mathoverflow.net/questions/38354/solution-of-the-equation-a2pb2-2c2-2kcdpk2d2-0 http://mathoverflow.net/questions/38354/so...2c2-2kcdpk2d2-0Я своё решение там разместил.Приведите своё решение. $$a^2+pb^2+(p+k^2)z^2=2c^2+2kcz$$

Число

если вы выберите любым. А число если имеет такой вид. $p=\frac{t^2}{2}-1$ Тогда решения можно записать. $a=\pm{t}n^2+2(tpr\mp(p+1)kj)ns-(2p(p+1)kjr\pm{t}((p+1)(p+k^2)j^2+pr^2))s^2$ $b=\pm{t}n^2-2(tr\pm(p+1)kj)ns+(2(p+1)kjr\mp{t}((p+1)(p+k^2)j^2+pr^2))s^2$ $$z=2(p+1)j((p+1)kjs-tn)s$$

Если же число имеет такой вид: $$p=3k^2-t^2$$

Фактически это эквивалетно поиску решений уравнения Пелля. $$t^2-3k^2=-p$$

Тогда решения можно записать так.Чтоб формулы выглядели проще сделаем замену. $x=(\pm{t}-2k)n^2+2j(t\mp3k)ns-(2kj^2+2kpe^2\pm{t}(pe^2-2j^2))s^2$ $y=(\pm{t}-2k)n^2+2j(2t\mp3k)ns-(8kj^2+2kpe^2\pm{t}(pe^2-2j^2))s^2$ $$r=2e(tn-3kjs)s$$

Тогда формулы решения имеют вид. $$a=pr^2+(p+k^2)f^2-xy$$

целые числа которые мы задаём.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 19 фев 2015, 05:01

Ещё одна простенькая система. Про неё тоже надо сказать.

$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=z^2\\&q^2+t^2=z^2\end{aligned}\right.$

$$x=4p^4-s^4$$

Это уравнение Маркова. И формула решения в общем виде. Решения получаются рациональными - целые выходят из них как частный случай.

$$x^2+y^2+z^2=qxyz$$

Для этого надо воспользоваться решениями уравнения Пелля. $p^2-(t^2+4)s^2=\pm1$

$z=\frac{t^2+2}{q}$

$x=\frac{(t^2+2)(p^2-2tps+(t^2+4)s^2)}{qt}$

$y=\frac{(t^2+2)(p^2+2tps+(t^2+4)s^2)}{qt}$

Или вот такая система.

$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2+z^2+q^2=R^2\\&xy+xz+xq+yz+yq+zq=W^2\end{aligned}\right.$

Если сделаем такую замену для упрощения расчётов.

$$b=t^2-k^2-3p^2+2kp$$

Тогда решения можно записать.

$$x=2bs$$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 19 фев 2015, 05:47

Замучился я с этим народом. Вечно мне пакости делают.
Вот один пристал с выводом бинарной квадратичной формы. Я ему не сказал так он влез в тему понизил мне рейтинг.
Сказал я не правильно решил. И решить надо по другому!
http://math.stackexchange.com/questions/816681/find-all-integers-satisfying-m2-n-12n-1n-2n-22 http://math.stackexchange.com/questions/81...-n-12n-1n-2n-22
И в качестве решения приводит мою же формулу! Бред какой то. Что делать даже не знаю.
Или вот как это уравнение: В этой теме обсуждение.
http://math.stackexchange.com/questions/872324/diophantine-equation-abc-abd-acd-bcd-1/876964#876964 http://math.stackexchange.com/questions/87...1/876964#876964

$$abc+abd+acd+bcd=1$$

И ещё.

Хотя можно решить и более общее уравнение.

$$abc+abd+acd+bcd=q$$

Решения записаны в виде дробей, но числа к ним выбираются такие чтоб получалось целое число.

$$a=k+t$$

$b=\frac{k^2+tk+p}{t}$

$$d=-k$$

$c=\frac{(k(k+2t)+p+t^2)k^2+tpk+tq}{tp}$

Если же будем задавать какое нибудь число. $$p$$

. Тогда разложим на множители число. $$p^2+1=ks$$

Решения тогда запишем так.

$$a=-p$$

Если же воспользуемся решениями уравнения Пелля. $$p^2-(t^2+k^2)s^2=1$$

Забавно. Столько решений, а получаются одним методом.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 19 фев 2015, 06:12

Ещё одно простенькое уравнение.

$$x^2-y^2=t(z^2-g^2)$$

И ещё.

Почти такое же уравнение.

$$x^3-y^3=t(z^3-q^3)$$

Вообще говоря это уравнение представляет себе вариацию на тему - как число разложить на множители?
Формула может пригодится в самых разных местах.

$\frac{ab-1}{a+b}=c$

Число дано и если разложим на множители следующее выражение. $$(k-n)(k+n)=4(c^2+1)$$

Тогда решение можно записать.

$a=c+\frac{k+n}{2}$
$b=c+\frac{k-n}{2}$

И так ещё.

$a=c-\frac{k+n}{2}$
$b=c-\frac{k-n}{2}$

И вот это тоже. Если вдруг надо будет на единицу умножить. Можно так!

$$ad-bc=1$$

Или же так.

$$a=2ps+p+s+1$$

Shadows · Сообщение **Shadows** » 19 фев 2015, 08:27

Даже такое? Да еще с конечным числом решений при одной фиксированной переменной.
individ, зачем вы нас этим добром заливаете? Для кого вы это пишете? Для нас, чтобы нас просветить? Пожалуйста, не надо. Или для себя - с терапевтической целью?
Даже если так, то неплохо бы сначала немножко почитать, прежде чем писать. (анекдот про чукчу-писателя знаете). Потому что на семь страниц нет ни одно решенное уравнение. С четко сформулированным условием и полной параметризацией в рамках заданных условий.

yourdomain.com