Ряд Тейлора, ряд Фурье

Homka · Сообщение **Homka** » 27 дек 2010, 06:28

Разобрался. Последний вопрос: при подстановке 0, -пи и пи в ряд Фурье получаются те же значения, что и для вычисления по пределам. Ho теорема Дирихле гласит, что в точках непрерывности значение суммы ряда равно значению функции. Почему же в точках разрыва значения получаются такие же, как и у функции?

СергейП

B посте 49 - да, это и есть ряд Фурье данной ф-ии.

Homka писал(а):Source of the post Для чётных/нечётных опять же формула изменится, как?

Да нет же, формула не изменится. Это будет тот же самый ряд, но записанный по другому, преобразованный.

Homka писал(а):Source of the post Разобрался. Последний вопрос: при подстановке 0, -пи и пи в ряд Фурье получаются те же значения, что и для вычисления по пределам. Ho теорема Дирихле гласит, что в точках непрерывности значение суммы ряда равно значению функции. Почему же в точках разрыва значения получаются такие же, как и у функции?

Это не так, функция в точке разрыва определена по одному из краев, a ряд сходится к полусумме значений.
Например, при x=0 все синусы равны 0, a косинусы - 1, тогда получаем

$\displaystyle \frac {3\pi-5}{2} +\frac {1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac {6} {n^2}((-1)^n-1) \right ]= \frac {3\pi-5}{2} -\frac {12}{\pi} \left ( 1+ \frac {1}{3^2}+ \frac {1}{5^2}+ \frac {1}{7^2}+... \right )=$
Сумма ряда в скобках равна $\frac {\pi^2}{8}$
$\displaystyle =\frac {3\pi-5}{2} -\frac {12}{\pi} \cdot \frac {\pi^2}{8}=-\frac 52$
Вот к этой самой полусумме значений ряд и сходится

yourdomain.com