Анику про механику

Anik · Сообщение **Anik** » 25 фев 2014, 11:13

Рубен писал(а):Source of the post
Anik писал(а):Source of the post Итак, мы рассмотрели два частных случая: при $\alpha=0$ и при $\alpha=\frac{\pi}{2}$ .
Так какая будет функция радиус-вектора точки от времени? Так, чтобы я мог проверить правильность решения, подставив его в исходное уравнение. Первое решение, при подстановке в уравнение, давало тождество, так что засчитано, а вот второго решения еще нет.

Да ради бога...
Когда мы составляли вот эти дифференциальные уравнения:
$\displaystyle \begin{cases} 2\dot R_1\dot\varphi+R_1\ddot\varphi=0 \\ m_1\ddot R_1-m_1R_1\dot\varphi^2=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_2}R_1, \end{cases}$
то полагали, что радиус-вектор мог изменяться как по модулю, так и по направлению. Поэтому появился угол $\varphi$ . Это, если вы помните, угол между полярной осью, с направляющим единичным вектором $\vec e$ и единичным вектором $\vec\rho$ , связанным с самим радиус-вектором.
В случае же колебаний вдоль оси, радиус-вектор может изменяться только по модулю, а угол $\varphi$ и все его производные равны нулю.
Вот и подставьте вместо $\dot\varphi$ и $\ddot\varphi$ эти нули в исходные уравнения, и получите из первого уравнения 0=0, а из второго:
$m_1\ddot R_1=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_2}R_1\qquad (*)$
Общее решение этого уравнения будет:
$R(t)=R_1\sin(\omega t+\varphi_0)$
Где $\varphi_0$ - начальная фаза (это угол на фазовой плоскости, где радиус-вектор $$R_1$$

крутится по кругу).
А $\omega$ круговая частота, которая находится из $\omega^2=\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}R_1$
Вот подставьте общее решение в (*), вы и получите тождество из второго уравнения.

Но, две точки так колебаться не могут, т.к. они будут соударяться, иначе, нужно предположить, что они проходят сквозь друг друга. Мы это уже обсуждали.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 25 фев 2014, 11:33

Anik писал(а):Source of the post
Поэтому появился угол $\varphi$ . Это, если вы помните, угол между полярной осью, с направляющим единичным вектором $\vec e$ и единичным вектором $\vec\rho$ , связанным с самим радиус-вектором.

Рубен, уж вы постарайтесь не забывать об этом.

Anik писал(а):Source of the post
Общее решение этого уравнения будет:
$R(t)=R_1\sin(\omega t+\varphi_0)$

Аник, сколько можно по кругу повторять одну и ту же банальность?
Или вы надеетесь, что количество перейдет в качество?
Или вы ничего другого сказать о решении больше не в состоянии?

Anik писал(а):Source of the post
Но, две точки так колебаться не могут, т.к. они будут соударяться, иначе, нужно предположить, что они проходят сквозь друг друга. Мы это уже обсуждали.

Не могут. Из-за вашей дурацкой блажи принять нулевую длину свободной пружины.
Это что - хитрый стратегический ход, чтобы оправдать свою неспособность решить задачу?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 25 фев 2014, 12:04

Anik писал(а):Source of the post Общее решение этого уравнения будет:
$R(t)=R_1\sin(\omega t+\varphi_0)$

Хорошо, это второе решение! Без вращения. Тоже школьное, конечно. Только при чем тут угол $\alpha$ :blink: Этот угол вообще не при чем.

Попробуете решить с колебаниями и вращением одновременно?

Но, две точки так колебаться не могут, т.к. они будут соударяться, иначе, нужно предположить, что они проходят сквозь друг друга. Мы это уже обсуждали.

Да, обсуждали. Предположили, что могут проходить сквозь друг друга. Это не принципиально: возьмите длину свободной пружины $$l$$

, но уравнения колебаний возле положения равновесия будут иметь ровно тот же вид.

Anik · Сообщение **Anik** » 25 фев 2014, 12:53

Рубен писал(а):Source of the post
Только при чем тут угол $\alpha$ :blink: Этот угол вообще не при чем.

Это угол между плоскостями П и П* из рисунка:

Я сделал предположение из соображений механики, что все движения системы будут получаться как проекции кругового движения (в плоскости П*) на плоскость П.
При $\alpha=0$ мы имеем на плоскости П круговое движение, при $\alpha=\frac{\pi}{2}$ - колебания по прямой (линия пересечения плоскостей П и П*). При $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ , мы должны получить общий случай движения.
Конечно, это пока предположение, но для двух частных случаев оно оказалось верным.

Я попробую найти общее решение но, придётся нам напрячься, может быть это займёт три дня.
***Следует заметить, что на рисунке не круговой цилиндр, а эллиптический, т.е. на плоскости П эллипс, а на плоскости П* - круг.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 25 фев 2014, 13:18

Аник, вы уже третий раз тыкаете в наши морды этой картинкой, не имеющей никакого отношения к решению.

Anik писал(а):Source of the post
займёт три дня.

От всей души надеюсь, что этого срока вам хватит, чтобы осознать, что в этой теме
вы ничем не занимались кроме назойливой демонстрации своей тупости.
У меня есть основания говорить так неуважительно, ибо человек, шельмующий математиков и физиков
(см. "О природе множеств"), будучи при этом ни бум-бум в этой самой математике и физике,
особого раскланивания и не заслуживает.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 26 фев 2014, 11:15

Хоть Рубена и отговаривал...

Рубен писал(а):Source of the post
Предположили, что могут проходить сквозь друг друга.

На том и порешим.
Тем более, что при ненулевой длине такая ситуация тоже возможна, но возни при этом...

Выразил всё через простые переменные, за исключением приведенной массы: $\displaystyle \mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$

а также $$r=r_1+r_2$$

, где $\displaystyle r_1=\frac{r\mu}{m_1}$ , $\displaystyle r_2=\frac{r\mu}{m_2}$ - расстояния от ц.м. до шариков.

Собственно, решение:

$\displaystyle r^2=\frac{r_0^2}{2}\left[ \left(1-\frac{\mu\omega_0^2}{k}\right)\cos2\sqrt{\frac{k}{\mu}}t+1+\frac{\mu\omega_0^2}{k} \right]$

Решение получено при условии, что $\displaystyle \frac{dr}{dt}_{t=0}=0$

Возиться с фи_от_тэ нэт жэлания.

Вот, кому хочется - $\displaystyle \frac{d\varphi}{dt}=\frac{\omega_0r_0^2}{r^2}$ - подставляйте эр_квадрат, и вперед с песней!

Частные случаи.

1. $\omega_0=0$ - имеем гармонические колебания с частотой $\displaystyle \sqrt{\frac{k}{\mu}}$

2. $\displaystyle \omega_0^2=\frac{k}{\mu}$ - соответствует случаю, когда сила упругости
обеспечивает равномерное вращение по окружности: $r=r_0,\,\omega=\omega_0$

Надеюсь, Аник больше не выволокет сюда в 4-й раз свою наклонную плоскость,
сколоченную во время непонятного затмения. Временного, надеюсь.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 26 фев 2014, 11:27

grigoriy писал(а):Source of the post соответствует равенству центростремительной силы и силы упругости.

Центробежной силы.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 26 фев 2014, 11:37

Рубен писал(а):Source of the post
Центробежной силы.

Это как?

З.Ы. Я и сам не знаю, какая муха меня укусила, что стал решать...
Наверное, подспудно лежит желание дойти до замкнутых траекторий.
Буду ждать очередного порыва экстаза, который может и не наступить.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 26 фев 2014, 12:00

grigoriy писал(а):Source of the post
Рубен писал(а):Source of the post
Центробежной силы.

Это как?

я давайте спрошу "как": как это "равенство центростремительной силы и силы упругости", если это одна и та же сила, один и тот же объект.

Наверное, подспудно лежит желание дойти до замкнутых траекторий.

Именно эта муха, я полагаю, всех и кусает

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 26 фев 2014, 12:14

Да, неудачно выразился. Исправил. Но и "центробежная" не употреблял.

yourdomain.com