Оценка угловой скорости вращения тела при торможении расположенного на нем маховика

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 27 апр 2015, 14:54

Нет у него обмотки возбуждения, двигатель с постоянными магнитами. Я исходил из того, что если выходное напряжение выпрямить и отфильтровать, то его величина будет пропорциональна угловой скорости ротора, это неправильно?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 апр 2015, 15:08

r.aristov писал(а):Source of the post Нет у него обмотки возбуждения, двигатель с постоянными магнитами. Я исходил из того, что если выходное напряжение выпрямить и отфильтровать, то его величина будет пропорциональна угловой скорости ротора, это неправильно?

Не надо выпрямлять и фильтровать, а можно в принципе так считать для такого ДПТ.
Теперь запишите выражение для мех. характеристики двигателя и получите требуемый закон.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 апр 2015, 15:12

Ну и естественно с $M=J\frac{d\omega}{dt}$

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 27 апр 2015, 16:26

Да, спасибо, похоже на правду. При таком торможении характеристика двигателя имеет вид $\frac{\omega }{R(k\Phi)^{2} } = M$
Заменив M на $J\frac{\mathrm{d\omega } }{\mathrm{d} t}$ получаем дифф. ур: $J {\omega}'(t) - \beta \omega(t)=0$ , где $\beta = \frac{(k \Phi)^2}{R}$

Интересно, а через энергии такой же результат получить можно? Или я где-то фундаментально ошибся...
В любом случае, спасибо!

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 28 апр 2015, 09:00

Свою ошибку нашел. Уравнение $\mathrm{d} \omega ^{2} = \frac{2E_{0}}{J}-\frac{2k}{J}\omega ^{2}\mathrm{d} t$ я, разумеется, проинтегрировал неправильно, это же диффур, угловая скорость - функция от времени, нельзя было интегрировать так, как я это сделал. Правильно будет привести к виду $\frac{\mathrm{d\omega ^{2}} }{\mathrm{d} x}+\frac{2k}{J}\omega ^{2}=\frac{2E_{0}}{J}$ . Заменой квадрата угловой скорости получаем $y'+\frac{2k}{J}y=\frac{2E_{0}}{J}$

SFResid · Сообщение **SFResid** » 30 апр 2015, 01:03

Рассмотрим вначале случай закреплённого корпуса электродвигателя. Обозначим: $$M_a$$

- тормозной момент, создаваемый обмоткой якоря (armature); $$M_0$$

- тормозной момент, создаваемый трением, который примем за постоянную величину (пренебрегать им в данном случае нельзя; почему - увидим позже). Тогда ,на основании 2-го з-на Ньютона для вращающихся тел: $\frac{d\omega }{dt} = -\frac{M_a + M_0}{J}$ (1), где $$J$$

- суммарный момент инерции якоря, маховика и всего, что к ним жёстко прикреплено и вращается вместе с ними. На основании з-на сохранения энергии, а также з-на Ампера и правила Ленца: $E*I = M_a*\omega$ (2), где $$E$$

- наводимая в якоре ЭДС, $$I$$

- ток якоря. На основании з-на электромагнитной индукции: $E = N*\Phi*\omega$ (3), где $\Phi$ - с якорем полный магнитный поток, $$N$$

- число последовательно соединённых проводов обмотки якоря. Из (2) и (3) получаем: $M_a = N*\Phi*I$ (4), откуда, на основании з-на Ома и (3): $M_a = \frac{(N*\Phi)^2*\omega}{R}$ (5), где $$R$$

- суммарное сопротивление обмотки якоря и тормозного резистора. Введём обозначения: $\frac{J*R}{(N*\Phi)^2} = T$ и: $\frac{M_0*R}{(N*\Phi)^2} = K_0$ (6а). Тогда (1) представится в виде: $-T*\frac{d\omega }{dt} = \omega + K_0$ (7). Разделяем переменные: $\frac{d\omega }{\omega + K_0} = -\frac{dt}{T}$ (8). Решение: $\ln (\omega + K_0) = -\frac{t}{T} + C$ (9). Начальное условие: при $$t = 0$$

угловая скорость равна первоначальной $\omega_0$ , т.е. $C = \ln (\omega_0 + K_0)$ (10). Отсюда: $\omega = (\omega_0 + K_0)*\exp(-\frac{t}{T}) - K_0$ (11) и время замедления от $\omega_0$ до текущего значения $\omega$ : $t = T*\ln (\frac{\omega_0 + K_0}{\omega + K_0})$ (12), а до полной остановки, т.е. до $\omega = 0$ , соответственно: $t = T*\ln (\frac{\omega_0 + K_0}{K_0})$ (12а). Теперь ясно, почему нельзя принимать трение равным нулю: время до полной остановки тогда выйдет бесконечным.

SFResid · Сообщение **SFResid** » 30 апр 2015, 01:05

Прошу прощения, в предыдущем ответе были допущены опечатки в формулах (1) и (11); сейчас они исправлены. (Если надо, продолжение следует).

Anik · Сообщение **Anik** » 30 апр 2015, 04:34

r.aristov
Вот читаю ваше стартовое сообщение и не могу понять, какую цель вы преследуете.
Если вас интересует взаимодействие маховика со сферой, то это механика. В этом случае, совершенно не важно какой двигатель раскручивает (или тормозит) маховик, либо асинхронный, постоянного тока, внутреннего сгорания или пружинный. Вы ведь говорили, что тормозить можно плавно или ударом об упор. Зачем вам резистор? Вы ещё режим рекуперации рассмотрите с переводом двигателя в режим генератора. Цель-то какая?
Если вас интересует работа двигателя постоянного тока и его характеристики, то на кой чёрт накручены сферы и маховики? Какая тогда разница, закреплён корпус сферы или не закреплён? А то получается, что разные задачи собраны в кучу, а зачем?

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 30 апр 2015, 07:52

SFResid,
Спасибо большое за подробные выкладки. Меня, правда, уже успели наставить на путь истинный, диффур для закрепленного я получил. Те же зависимости, что и у разряжаемого через резистор конденсатора) Ну, в принципе, логично, маховик накапливает энергию пропорционально квадрату угловой скорости и моменту инерции, конденсатор - пропорционально квадрату напряжения и емкости...
А для незакрепленного корпуса вы считали?

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 30 апр 2015, 07:55

Anik,
Двигатель и так будет в режиме генератора, когда замкнут на резистор.
Основная цель - прикинуть, как эффективнее всего затормозить маховик, чтобы большая часть его энергии передалась сфере. Ну, эффективнее-то, вероятно, ударом об упор, но я как раз и хочу выяснить, много ли я потеряю, избавившись от механики (упора, соленоида, котрый этот упор вдвигает и т.п.) и заменив ее тормозным резистором. И в каком режиме мне правильнее всего тормозить, чтобы получить бОльшую эффективность передачи энергии.
Ну и, в конце концов, я связан ограничениями реального мира и не могу тормозить бесконечно малым резистором, к примеру, чтобы не сжечь свой двигатель. Но зато могу заменить резистор источником тока и тормозить нагрузкой постоянной мощности, допустим, если окажется, что это более эффективно, чем просто замыкать на резистор.
Все остальные вопросы - для общего образования и более глубокого понимания физики процесса. Так-то, по большому счету, я могу пойти стандартным инженерным путем - собрать устройство, позаботиться о том, чтобы пиковый ток не превышал номинал, а дальше просто пробовать разные варианты и смотреть, что получится. Но мне хотелось все-таки хоть немного сначала просчитать.

yourdomain.com