Индекс комплексного векторного поля

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 08 янв 2015, 16:19

Все равно не понимаю...Например точка 4. Почему же мы не рисуем этот вектор между двумя вами нарисованными направлениями, как в точке 2, например? Почему он идет вообще непонятно с какой радости к центру? И, исходя из ваших объяснений, эти два пририсованные направления мы просто рисуем как касательную к окружности,а вторую - перпендикулярно первой. А зачем тогда нужны вообще данные уравнения и соответсвующие им знаки производных в каждом из квадрантов? Они тогда вообще не имеют смысла.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 08 янв 2015, 16:23

Dr. Arrieta писал(а):Source of the post А зачем тогда нужны вообще данные уравнения и соответсвующие им знаки производных в каждом из квадрантов? Они тогда вообще не имеют смысла.

Своё понимание этих уравнений я высказал в посте 8. Ждем Андрея.

Ian · Сообщение **Ian** » 08 янв 2015, 18:14

Да, в рисунках ошибка. в точке 4 вектор должен смотреть вниз, а в точке 6 вверх. Я не стал проверять, ну потому что никогда не вдаюсь в такие частности, ну нашли ошибку, ну поправили.Тот не ошибается кто не работает)

Рубен · Сообщение **Рубен** » 08 янв 2015, 20:07

Замечательный пример того, как с помощью ТФКП можно систему из двух ДУ свести к одному, да еще и с разделяющимися переменными.

Что интересно. Если эти уравнения записать в векторном виде, получится почти то же, что и в комплексном, только совершенно непригодное для дальнейшей работы:
$\mathbf{ {r}'}=r^2(\mathbf{i} \cos{2\varphi } + \mathbf{j} \sin{2\varphi })$
где $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ - неподвижные единичные орты вдоль действительной и мнимой осей соотвественно. Двойка при r и фи соотвествует возведению z в квадрат.

Ian · Сообщение **Ian** » 09 янв 2015, 02:06

Однако, ваш ребята искренний интерес к теме и меня немного заражает, вот если так бы было в разделах математики)
Решим что ли систему, то есть найдем все траектории
$\frac{dz}{dt}=z^2\\\frac{dz}{z^2}=dt$
Что толкуется так, что левая дробь всегда действительное число. Интегрируем по t обе части.
$\frac{1}{z_0}-\frac{1}{z}=t$ , где z_0 комплексное. После отображения 1/z траектории, значит, будут прямыми, параллельными действительной оси, значит, сами траектории ,из свойств инверсии -всевозможные окружности с выколотым нулем, касающиеся в 0 действительной оси

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 23 янв 2015, 21:47

Ian писал(а):Source of the post Да, в рисунках ошибка. в точке 4 вектор должен смотреть вниз, а в точке 6 вверх. Я не стал проверять, ну потому что никогда не вдаюсь в такие частности, ну нашли ошибку, ну поправили.Тот не ошибается кто не работает)

Так вот в этом-то моменте и загвоздка. Если мы принимаем, что в рисунке ошибка в этих двух точках, тогда индекс не получается равным 2, а он будет ноль. Т.е. мы считаем по направлениям, начиная от 1 и до 8 : если против часовой стрелки, то + угол, а если по, то -угол. Выходит, что: $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=0$
ну и соответственно 0 делим на $2\pi$ получаем 0. Вот это-то мне и непонятно.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 23 янв 2015, 22:22

Dr. Arrieta писал(а):Source of the post Выходит, что: $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=0$ ну и соответственно 0 делим на $2\pi$ получаем 0. Вот это-то мне и непонятно.

А мне непонятно, что вы вообще делаете. Что это за углы и зачем вы их складываете и зачем результат потом делите на $2\pi$ ?

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 24 янв 2015, 14:08

Для этого и задаются эти направления - чтобы потом посчитать на сколько произошло изменение и разделить на $2\pi$ . Так и вычисляется индекс. Во всяком случае так было написано в моем учебнике и так нас этому учили в университете. Поэтому я и завис с этими направлениями - я пытался делать так, как это необходимо в теории, а правильный ответ не получается.

Ian · Сообщение **Ian** » 24 янв 2015, 14:22

Dr. Arrieta писал(а):Source of the post

Выходит, что: $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=0$ ну и соответственно 0 делим на $2\pi$ получаем 0. Вот это-то мне и непонятно.

Нет там сумма 8 раз по П/2. Потому что при возрастании аргумента z на П/4 аргумент z^2 плавно растет на П/2

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 24 янв 2015, 14:58

Получается, что везде где $\frac{3\pi }{4}$ и $\frac{\pi }{4}$ надо брать $\frac{\pi }{2}$ ? И знаки тоже игнорируются? Т.е. направление вроде как по часовой стрелке и значит надо брать минус, а берется плюс, потому что z^2 растет?
Мдаа...как-то это всё так шатко, так неупорядоченно - не видна какая-то цельная закономерность, всё везде с какими-то оговорками. Некрасивая, в общем, теория какая-то.

yourdomain.com