Интересная задачка получилась.

lapay · Сообщение **lapay** » 13 мар 2013, 06:32

Правильное решение у ув. ravnovesie.
Так как $$Q_c=0$$

, то конденсаторы $$C_1$$

и

можно представить, как последовательно соединённые и записать как один конденсатор $$C_z$$

. После этого заряды $$Q_a$$

и

просто перераспределяются между конденсаторами $$C$$

и

. Паразитные ёмкости малы и их можно не учитывать. Задача решается однозначно.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 13 мар 2013, 07:42

txAlien Из всех Ваших сентенций верно только это:

txAlien писал(а):Source of the post
Формула для энергии записана неверно. Так как не учитывает, что при произвольныx зарядаx пластин поле будет не только внутри кондесатора, но и вне. Энергия этого поля не будет пренебрежимо мала при любой геометрии пластин и проводов.

И не надо было столько времени терпеть и держать фигу в кармане, надо было это заметить в самом начале и аккуратно обсудить.
Мне пришлось пойти на это, конечно не обоснованное упрощение, иначе задача станет неподъёмной из за сложности вычисления ёмкости конденсатора как заряженного проводника. Лучше бы Вы потратили это время на вычисление этой ёмкости хотя бы для пластин в виде диска.
Эта ёмкость легко вычисляется например для проводника в виде шара, для Земли например, если её представить идеальным проводником, составит порядка сотен микрофарад.

Суть дела не меняется, только для энергии следует добавить член, соответствующий энергии суммарного заряда на конденсаторе.

lapay · Сообщение **lapay** » 13 мар 2013, 08:20

ALEX165 писал(а):Source of the post
Эта ёмкость легко вычисляется например для проводника в виде шара, для Земли например, если её представить идеальным проводником, составит порядка сотни микрофарад.

Такие малые паразитные ёмкости никто не учитывает, тем более, в абстрактной задаче. Если в условии это не указано, то паразитная ёмкость равна нулю.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 13 мар 2013, 10:21

zykov писал(а):Source of the post Так что задачи вообще тут никакой нет.

Задача, безусловно, есть, но, к сожалению, действительно, некорректно поставлена.

Если говорить с общей точки зрения, то схема Алекса --- просто три проводника и решается соотношениями параграфа 2 из ЛЛ8.

Некорректность же задачи в том, что в эти соотношения входят зависящие от взаимного расположения проводников коэффициенты емкости $C_{ij}$ , а конкретное расположение конденсаторов Алекс не указал.

Чтобы наглядно продемонстрировать, что задача Алекса не имеет однозначного решения, рассмотрим простой случай, когда все три конденсатора плоские и параллельны друг другу. Я позволю себе немного изменить обозначения Алекса, чтобы они стали более "регулярными". Я также буду считать конденсаторы бесконечными и работать с поверхностными плотностями заряда и емкостями на единицу площади.

Условия равенства потенциалов соединенных проводниками обкладок гласят

$\displaystyle \sigma_{11}+\sigma_{12}=\sigma_{21}+\sigma_{22}+\sigma_{31}+\sigma_{32},$
$\displaystyle \sigma_{11}+\sigma_{12}+\sigma_{21}+\sigma_{22}=\sigma_{31}+\sigma_{32},$
$\displaystyle -\frac{\sigma_{12}}{C_1}+\frac{\sigma_{21}}{C_2} +\frac{\sigma_{31}}{C_3}=0,$

а поскольку заряды на проводниках известны,

$\displaystyle \sigma_{12}+\sigma_{21}=\sigma_1,$
$\displaystyle \sigma_{22}+\sigma_{31}=\sigma_2,$
$\displaystyle \sigma_{32}+\sigma_{11}=\sigma_3.$

Из этих шести уравнений, в принципе, определяются заряды на обкладках, но нас сейчас интересует не это. Мы можем циклически переставить конденсаторы в нашей задаче, это будет соответствовать циклической перестановке $1\to2\to3\to1$ первых индексов в уравнениях. Важно, что "электрическая схема цепи" при этом остается той же самой.

Однако нетрудно видеть, что первые три уравнения из шести несимметричны относительно такой циклической перестановки. Поэтому электрическая схема, представленная Алексом, сама по себе не позволяет однозначно решить задачу: нужно еще указывать, какой из конденсаторов стоит "посередине".

[spoiler=Что же касается "фиги в кармане",] то вы, Алекс, традиционно лажаете в задачах по электродинамике. Видимо, народу было интересно посмотреть, как вы облажаетесь на этот раз.[/spoiler]

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 13 мар 2013, 10:34

F-> peregoudov

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 13 мар 2013, 10:51

peregoudov писал(а):Source of the post

Некорректность же задачи в том, что в эти соотношения входят зависящие от взаимного расположения проводников коэффициенты емкости $C_{ij}$ , а конкретное расположение конденсаторов Алекс не указал.

В рамках обычных допущений в таких задачках, в контексте, очевидно имеется в виду, что конденсаторы достаточно далеко удалены друг от друга и их взаимными емкостями, да и ёмкостями соединительных проводников тоже можно пренебречь. Так что предположения о взаимных ёмкостях - не к месту, особенно допущение о бесконечных параллельных пластинах. А вот собственными ёмкостями конденсаторов, как проводников при сколь угодно далёком друг от друга их расположении пренебрегать вообще нельзя, что я и заметил.

NT · Сообщение NT » 13 мар 2013, 11:46

peregoudov писал(а):Source of the post ... рассмотрим простой случай, когда все три конденсатора плоские и параллельны друг другу.

Обьясните пожалуйста почему конденсаторы параллельны друг другу?
Я вижу, что они последовательны.

lapay · Сообщение **lapay** » 13 мар 2013, 13:14

peregoudov писал(а):Source of the post

Условия равенства потенциалов соединенных проводниками обкладок гласят

$\displaystyle \sigma_{11}+\sigma_{12}=\sigma_{21}+\sigma_{22}+\sigma_{31}+\sigma_{32},$
$\displaystyle \sigma_{11}+\sigma_{12}+\sigma_{21}+\sigma_{22}=\sigma_{31}+\sigma_{32},$

Осталось только этот шедевр мысли соединить с формулой
$\displaystyle \sigma_{11}-\sigma_{12}+\sigma_{21}-\sigma_{22}+\sigma_{31}-\sigma_{32}=0$
Знаки не надо путать.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 13 мар 2013, 13:23

N_T
Смысл моего комментария в том, что только по схеме, не задавая расположения конденсаторов в пространстве (в, частности, их конструкцию), нельзя однозначно решить задачу. Слово "параллельный" относится именно к расположению в пространстве, а не к электрическому соединению.

ALEX165 писал(а):Source of the post конденсаторы достаточно далеко удалены друг от друга и их взаимными емкостями, да и ёмкостями соединительных проводников тоже можно пренебречь
<...>
А вот собственными ёмкостями конденсаторов, как проводников при сколь угодно далёком друг от друга их расположении пренебрегать вообще нельзя

Вы тут делаете два утверждения, оба они выглядят спорными:
1) Можно пренебречь емкостью соединительных проводников и вообще деталями соединения (вы же проводники вовсе не рассматриваете, да?).
2) Можно вычислить энергию поля конденсатора с нескомпенсированным зарядом, зная только его емкость и не зная деталей конструкции конденсатора.

Второе представляется особенно странным. Вы можете его доказать для одного-единственного конденсатора? Если заряды на обкладках конденсатора равны $$q$$

и

, то энергия поля равна $U=q^2\!/2C$ . А какую вы предлагаете формулу для энергии поля конденсатора, если заряды на обкладках равны $$q_1$$

и

?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 13 мар 2013, 15:10

peregoudov писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post конденсаторы достаточно далеко удалены друг от друга и их взаимными емкостями, да и ёмкостями соединительных проводников тоже можно пренебречь
<...>
А вот собственными ёмкостями конденсаторов, как проводников при сколь угодно далёком друг от друга их расположении пренебрегать вообще нельзя
Вы тут делаете два утверждения, оба они выглядят спорными:

2) Можно вычислить энергию поля конденсатора с нескомпенсированным зарядом, зная только его емкость и не зная деталей конструкции конденсатора.

Второе представляется особенно странным. Вы можете его доказать для одного-единственного конденсатора? Если заряды на обкладках конденсатора равны и , то энергия поля равна $U=q^2\!/2C$ . А какую вы предлагаете формулу для энергии поля конденсатора, если заряды на обкладках равны и ?

Это как раз наиболее очевидное утверждение, только Вы не так меня пересказали, я не говорил, что "не зная деталей конструкции" - проверьте, сравните, как раз наоборот, я предлагал полемизатору именно конкретную конструкцию - диск и конечно в рамках обычного идеального конденсатора - размеры пластин много больше промежутка. Как раз конкретная конструкция и определяет эту ёмкость.

Если заряды скомпенсированы, $U=q^2\!/2C$ - энергия поля внутри конденсатора, а энергией поля вне его мы везде с чистой совестью пренебрегаем, хотя она отлична от нуля. Эта же энергия (поля внутри) при нескомпенсированых зарядах даётся той же формулой $\frac{(q_1-q_2)^2}{8C}$ , эта формула справедлива как при скомпенсированных (тогда $$q_1=-q_2$$

), так и при нескомпенсированных зарядах. Но как правильно заметил упомянутый полемизатор, при нескомпенсированных зарядах энергией поля вне конденсатора уже нельзя пренебречь. Ясно, вычислить её даже для дискового идеального конденсатора непросто, но можно оценить, если учесть, что ёмкость такого дискового конденсатора меньше ёмкости сферы, в которой этот диск - большой круг. Этим же способом легко доказать, что при бесконечном удалении конденсаторов их взаимная ёмкость стремится к 0.

peregoudov писал(а):Source of the post
1) Можно пренебречь емкостью соединительных проводников и вообще деталями соединения (вы же проводники вовсе не рассматриваете, да?).

В общем то это обычное предположение в такого рода задачках, но естественно его можно и нужно доказать, только это посложнее, может чуть позже.

Но даже если учитывать и ёмкости проводников и взаимную ёмкость конденсаторов, исходное моё утверждение в той задаче про конденсатор остаётся в силе, только вычисления значительно усложняются (я поэтому, честно говоря и схитрил - не учёл там энергию поля вне, так что задачка стала линейной и легкорешаемой, что и подтвердил своими выкладками равноденствие).

yourdomain.com