ряд

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 09 дек 2010, 22:36

leonid писал(а):Source of the post
Как разложить (1+x)^1/x в ряд Маклорена до o(х).He понятно как брать производную.

Я понял, что требуемая точность o(х) - это малая, a не сравнимаемая O(х) величина от х

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 10 дек 2010, 19:21

bas0514 писал(а):Source of the post
$\displaystyle \left(e^{\frac{\ln(1+x)}x}\right)'=e^{\frac{\ln(1+x)}x}\right \cdot \frac {x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$ , где предел первого множителя , второго , итого

Хочу пояснить не очевидное. При нахождении предела первого сомножителя (точнее показателя степени) возникает неопределенность вида 0/0, которая быстро решается по Лопиталю!

bot · Сообщение **bot** » 11 дек 2010, 06:30

Встряну на всякий случай, потому что не увидел в явном виде, что для разложения по формуле Тейлора вовсе не обязательно искать производные. Иногда бывает проще найти разложение, a из него в силу единственности разложения достать производные. Покажу на этом примере, до члена порядка первого здесь вообще устный счёт, поэтому возьмусь раскладывать до $$o(x^3)$$

Понадобятся два разложения:

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

Тогда $\frac1x\ln(1+x)=\frac1x(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4))=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+o(x^3)=1+h$

$h=-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+o(x^3)$

$h^2=\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$h^3=-\frac{x^3}{8}+o(x^3)$

$$o(h^3)=o(x^3)$$

$\frac1e(1+x)^{\frac1x}=e^{h}=1+h+\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}+o(x^3)=$

$= 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+ \frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{6}-\frac{x^3}{48}+o(x^3)= 1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^2-\frac{21}{48}x^3+o(x^3)$

$(1+x)^{\frac1x}=e\left(1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^2-\frac{21}{48}x^3\right)+o(x^3)$

yourdomain.com

ряд

ряд

ряд

ряд

Кто сейчас на форуме