Доказательство неравенства Коши-Буняковского

Vector · Сообщение **Vector** » 16 сен 2010, 20:53

cupuyc писал(а):Source of the post
Vector, так a в чём проблема? Есть исходное определение: скалярное произведение векторов. Нужно доказать, что $\frac{|\sum_{i=1}^{n}{x_i y_i}|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_i x_i} \sum_{i=1}^{n}{y_i y_i}}} <= 1$

Тоже самое (только у Bac числитель почему-то в модуле).

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 16 сен 2010, 20:57

$\displaystyle \frac{(\sum_{i=1}^{n}{x_i^2}) (\sum_{i=1}^{n}{y_i^2})-(\sum_{i=1}^{n}{x_i y_i})^2}{\sum_{i=1}^{n}{y_i^2}}=\sum_{i=1}^{n}{\left (x_i-\frac{\sum_{j=1}^{n}{x_j y_j}}{\sum_{j=1}^{n}{y_j^2}}}y_i \right)^2 \geq 0$
Если, конечно, вектор у не нулевой...

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 16 сен 2010, 21:15

Vector писал(а):Source of the post
Объясните пожалуйста, почему в доказательстве рассматривается неравенство 0<= (tx+y, tx+y) или (x-ty)^2>=0, которое везде называют очевидным.

По определению скалярного произведения квадрат любого вектора есть положительное число (кроме случая нулевого вектора, когда он равен нулю). Это называется аксиома положительной определенности, вроде!

Vector · Сообщение **Vector** » 16 сен 2010, 22:37

Hottabych писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
Объясните пожалуйста, почему в доказательстве рассматривается неравенство 0<= (tx+y, tx+y) или (x-ty)^2>=0, которое везде называют очевидным.

По определению скалярного произведения квадрат любого вектора есть положительное число (кроме случая нулевого вектора, когда он равен нулю). Это называется аксиома положительной определенности, вроде!

Ну да, очевидно что сумма квадратов координат вектора будет положительным числом, это скорее аксиома здравого смысла, чем положительной определенности. И норма вектора (x-ty)^2 тут не исключение. Я хочу, чтобы как в школе левую часть неравенства привести к правой, или что-то похожее.

Как (x-ty)^2> связано c из xy<=|x||y|. Почему рассматривается именно это уравнение??? Для меня это не очевидно, что для доказательства xy<=|x||y| нужно использовать (x-ty)^2>=0. Вот в чем вопрос.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 16 сен 2010, 22:53

Vector писал(а):Source of the post
Я хочу, чтобы как в школе левую часть неравенства привести к правой, или что-то похожее.

Как (x-ty)^2> связано c из xy<=|x||y|. Почему рассматривается именно это уравнение??? Для меня это не очевидно, что для доказательства xy<=|x||y| нужно использовать (x-ty)^2>=0. Вот в чем вопрос.

Тогда мой пост #12 как раз для Bac: положите только $t=\frac {\sum_{j=1}^n{x_j y_j}}{\sum_{j=1}^n{y_j^2}},$ вот вам и будет $$(x-ty)^2$$

в правой части... a в левой в числителе - то, неотрицательность чего нужно фактически доказать.

VAL · Сообщение **VAL** » 17 сен 2010, 05:08

Vector писал(а):Source of the post
Hottabych писал(а):Source of the post
По определению скалярного произведения квадрат любого вектора есть положительное число (кроме случая нулевого вектора, когда он равен нулю). Это называется аксиома положительной определенности, вроде!

Ну да, очевидно что сумма квадратов координат вектора будет положительным числом, это скорее аксиома здравого смысла, чем положительной определенности.

Причем тут здравый смысл? To, что модуль вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, во-первых, верно только в ортонормированном базисе, a во-вторых, выводится из аксиом скалярного произведения, включающих и аксиому, приведенную Hottabych'ем.
Существуют пространства (самый известный пример - пространство Минковского), в которых ваша "аксиома здравого смысла" не верна.

Ian · Сообщение **Ian** » 17 сен 2010, 06:47

Vector писал(а):Source of the post
Я хочу, чтобы как в школе левую часть неравенства привести к правой, или что-то похожее.

Школа офигела от этого комплимента, почувствовала подвох и бросилась выполнять
B трехмерном пространстве $\displaystyle (xy)^2=|x|^2|y|^2-(x\times y)^2$
B n-мерном
$\displaystyle (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+...+y_n^2)-(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n)^2=\\0-0+\sum_{\scriptsize{\begin{array}{c} i,j=1\\i<j\end{array}}}^n(x_i^2y_j^2+x_j^2y_i^2)-2\sum_{\scriptsize{\begin{array}{c}i,j=1\\i<j\end{array}}}^nx_iy_ix_jy_j=\sum_{\scriptsize{\begin{array}{c}i,j=1\\i<j \end{array}}}^n(x_iy_j-x_jy_i)^2\geq 0$
равносильно действию, предложенному Б.A.C.
(a как внизу под знаком суммы две строчки уместить,кто знает

)

PS Используя команды \begin{array} и \end{array}

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 17 сен 2010, 10:25

Ian писал(а):Source of the post (a как внизу под знаком суммы две строчки уместить,кто знает )

B Сюткине ("Набор математических формул в LaTeX 2e") написано два способа:
\sum_{\substack{i,j=1\\i<j}}\sum_{\begin{subarray}{c}i,j=1\\i<j\end{subarray}}Очень полезная книжка, рекомендую иметь под рукой. Мне приходилось вылезать за её рамки, только когда я совсем уж извращёнными делами занимался: выравнивал "-1" в числителе без учёта знака "-", или конструировал новый символ "черта c диагональными точками"... И при этом - тоненькая брошюрка.

СергейП

fir-tree писал(а):Source of the post B Сюткине ("Набор математических формул в LaTeX 2e") написано два способа:
....
Очень полезная книжка, рекомендую иметь под рукой.

A можно скачать где-нибудь?

YURI · Сообщение **YURI** » 17 сен 2010, 10:52

4-я позиция в гугле.
A вот ссылка на ТеХническую литературу, откуда и первая ссылка; там и Львовский есть, и Кнут.

yourdomain.com