Видимо, я не coставляю вообще того уравнения, которое вы имеете в виду.
Стандартное уравнение Пуассона
в пространстве волновых векторов имеет вид
, и решается элементарно:
.
Обратным преобразованием Фурье от
получаем функцию Грина уравнения Пуассона
, и искомое решение в координатном пространстве имеет вид
.
Обратив эту процедуру для некоторой другой функции, выполняющей роль функции Грина,
, получаем, что в пространстве волновых векторов решение имеет вид
,
исходное уравнение -
,
и всё, что нужно - это выполнить обратное преобразование Фурье для множителя при
. Это даст некоторый интегро-дифференциальный оператор
(вида свёртки c обобщённой функцией), и уравнение, аналогичное уравнению Пуассона,
.
Подставляя в него
(внутри шара), вычисляем распределение заряда. Долго, муторно, но как мне представляется, обозримо.