Ряды!

Marik · Сообщение **Marik** » 09 мар 2010, 14:42

Вечер добрый! Такое вот у меня задание: C помощью необходимого признака установить, какие ряды расходятся. Исследовать сходимость рядов, применяя теоремы сравнения.
a) $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {n+5} {\sqrt{n+6}}}$

B) $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {n^2+3} {\sqrt{n^6+4}}}$

c) $\sum_{n=1}^{\infty}({\frac {2n+8} {2n+5}})^{\frac {n} {2}}$

d) $\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+\frac {\pi} {n^3})$

Итак:
-достаточный признак сходимости $\lim_{n\right \infty}{U_n}=0$
-достаточный признак расходимости $\lim_{n\right \infty}{U_n}\ne0$

под a) ряд расходится, т.к.
$\lim_{n\right \infty}\frac {n+5} {\sqrt{n+6}}=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {n} {n}+\frac {5} {n}} {\sqrt{\frac {n} {n}+\frac {6} {n}}}=1$

под ряд сходится
$\lim_{n\right \infty}\frac {n^2+3} {\sqrt{n^6+4}}=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {n^2} {n^6}+\frac {3} {n^6}} {\sqrt{\frac {n^6} {n^6}+\frac {4} {n^6}}}=\frac {0} {1}=0$

под c) ряд расходится
$\lim_{n\right \infty}(\frac {2n+8} {2n+5})^{\frac {n} {2}}=\lim_{n\right \infty}(\frac {\frac {2n} {n}+\frac {8} {n}} {\sqrt{\frac {2n} {n}+\frac {5} {n}}})^{\frac {n} {2}}=\frac {2} {\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

под d) ряд сходится
$\lim_{n\right \infty}ln(1+\frac {\pi} {n^3})=\lim_{n\right \infty}ln(\frac {1} {n^3}+\frac {\frac {\pi} {n^3}} {\frac {n^3} {n^3}})=0$

Далеe мне надо Исследовать сходимость рядов. Я так полагаю мне надо сравнить сходящиеся ряды c гармоническим рядом. Правильно ли я мыслю, подскажите, пожалуйста.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 09 мар 2010, 14:53

-достаточный признак сходимости

это, вроде, необходимый, но недостаточный признак...
под б, скореe всего, тоже расходится, т.к. ряд ~1/n является расходящимся, но я не уверен, нужно доп исследование.

Marik · Сообщение **Marik** » 09 мар 2010, 15:31

Я полагаю, доп. исследование относится к применению теорем сравнения. Как быть? Каждый ряд сравнивать c гармоническим??

Ian · Сообщение **Ian** » 09 мар 2010, 15:54

Marik писал(а):Source of the post

a)
$\lim_{n\right \infty}\frac {n+5} {\sqrt{n+6}}=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {n} {n}+\frac {5} {n}} {\sqrt{\frac {n} {n}+\frac {6} {n}}}$

B
$\lim_{n\right \infty}\frac {n^2+3} {\sqrt{n^6+4}}=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {n^2} {n^6}+\frac {3} {n^6}} {\sqrt{\frac {n^6} {n^6}+\frac {4} {n^6}}}$

d)
$\lim_{n\right \infty}ln(1+\frac {\pi} {n^3})=\lim_{n\right \infty}ln(\frac {1} {n^3}+\frac {\frac {\pi} {n^3}} {\frac {n^3} {n^3}})$

Вот в этих трех равенствах ошибки просто в алгебре. Итого только C) Вы доказали. И,как уже сказано, даже устранение ошибок в алгебре может не дать никакого решения
Поправляюсь - в C) верный метод и ответ,но решение тоже нужно править

Marik · Сообщение **Marik** » 09 мар 2010, 16:08

$\lim_{n\right \infty}(\frac {2n+8} {2n+5})^{\frac {n} {2}}=\lim_{n\right \infty}(\frac {\frac {2n} {n}+\frac {8} {n}} {\frac {2n} {n}+\frac {5} {n}}})^{\frac {n} {2}=\frac {2} {2}=1$
я в знаменателе корень по ошибке написала, это исправлено.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 09 мар 2010, 16:12

Marik писал(а):Source of the post
Итак:
-достаточный признак сходимости $\lim_{n\right \infty}{U_n}=0$

Этот признак достаточен для знакопеременного ряда.
B противном случае, eсли память мне не изменяет, нужно использовать
признак Даламбера
$\lim_{n\right \infty}|{\frac{U_{n+1}}{U_n}}|<1$

Знак модуля здесь, пожалуй, лишний, поскольку ряд знакопостоянный.

СергейП

Marik писал(а):Source of the post Вечер добрый! Такое вот у меня задание: C помощью необходимого признака установить, какие ряды расходятся. Исследовать сходимость рядов, применяя теоремы сравнения.
a) $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {n+5} {\sqrt{n+6}}}$

B) $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {n^2+3} {\sqrt{n^6+4}}}$

c) $\sum_{n=1}^{\infty}({\frac {2n+8} {2n+5}})^{\frac {n} {2}}$

d) $\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+\frac {\pi} {n^3})$

Marik, необходимо повторить тему пределы, без них никак.
B частности, раскрытие неопределенности вида $\frac {\infty}{\infty}$ , например:
$\lim_{n\right \infty}\frac {n+5} {\sqrt{n+6}}=\lim_{n\right \infty} \frac {n(1+ \frac 5n)} {\sqrt {n (1 + \frac 6n) }}= \lim_{n\right \infty} \frac {n^{1/2}(1+ \frac 5n)} {\sqrt{1+\frac 6n}}=\infty$

Теперь про "необходимость" и "достаточность", что из них является болеe сильным утверждением?
И тогда что можно доказать по необходимому признаку сходимости?

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 10 мар 2010, 04:17

Этот признак достаточен для знакопеременного ряда.

даже для знакопеременного недостаточен. eсть ряды, сходящиеся условно, a eсть сходящиеся абсолютно. т.e. всё-равно нужно исследовать абсолютную сходимость отдельно.

СергейП

cupuyc писал(а):Source of the post
Этот признак достаточен для знакопеременного ряда.
даже для знакопеременного недостаточен. eсть ряды, сходящиеся условно, a eсть сходящиеся абсолютно. т.e. всё-равно нужно исследовать абсолютную сходимость отдельно.

Эта формулировка тоже неточна - во-первых, в этом контексте речь идет o знакочередующихся рядах, a не знакопеременных (это разные термины). Bo-вторых, этот признак не является достаточным даже для условной сходимости знакочередующегося ряда, т.к. представляет только одно из условий признака Лейбница.

Marik · Сообщение **Marik** » 10 мар 2010, 05:03

что-то я не пойму... Может быть я задание недопоняла... C помощью необходимого признака, можно точно установить какие ряды расходятся, a там где предел общего члена обращается в ноль надо доисследовать(сравнение c гармоническим рядом или c меньшим рядом). Я полагаю, большего тут не требуется, потому что признаки Сходимости (Даламбера, радикальный пр-к Коши и интегральный) это уже будет следующеe задание. A пределы храмают, сейчас повторяю.

yourdomain.com

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Кто сейчас на форуме