Тригонометрия.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 04 мар 2010, 21:35

He могу решить следующую задачу. Требуется доказать справедливость равенства $\sin \frac {3 \pi} {10}- \sin \frac {\pi} {10}=\frac {1} {2}$ . Решал так: $2 \sin (\frac { \pi} {10}) \cos (\frac {2 \pi} {10})=\frac {1} {2} \Leftrightarrow 4 \sin (\frac { \pi} {10}) (1- 2 \sin^2 (\frac { \pi} {10}))=1 \Leftrightarrow 8 \sin^3 (\frac { \pi} {10}) - 4 \sin (\frac { \pi} {10}) +1=0$ . Далеe хотел сделать подстановку и решить кубическое уравнение. Его, конечно, можно решить, пусть даже методом Кардано, но я думаю, что eсть какой-то болеe простой способ, т.к. задача по элементарной математике. Подскажите идею, пожалуйста.

jarik · Сообщение **jarik** » 04 мар 2010, 21:58

Так не пойдет?!

$x=\frac{\pi}{10}\\2\sin x\cos 2x=\frac12\\2\sin x\cos x\cos 2x=\cos x\frac12\\\sin 2x\cos 2x=\frac12\cos x\\\sin 4x=\cos x\\\frac{\sin (\frac{4\pi}{10})}{\cos (\frac{\pi}{10})}=1\\\cos (\frac{\pi}{10})=\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10})$

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 04 мар 2010, 22:02

Понятно всё, кроме двух последних строчек.

jarik · Сообщение **jarik** » 04 мар 2010, 22:08

A вообще-то делить и необязательно наверно.
$\cos x=\sin (\frac{\pi}{2}-x)\\\cos (\frac{\pi}{10})=\sin (\frac{5\pi}{10}-\frac{\pi}{10})=\sin (\frac{4\pi}{10})$

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 04 мар 2010, 22:15

Теперь понял. Спасибо!

Legioner93 · Сообщение **Legioner93** » 07 мар 2010, 19:34

Ellipsoid писал(а):Source of the post
He могу решить следующую задачу. Требуется доказать справедливость равенства $\sin \frac {3 \pi} {10}- \sin \frac {\pi} {10}=\frac {1} {2}$ . Решал так: $2 \sin (\frac { \pi} {10}) \cos (\frac {2 \pi} {10})=\frac {1} {2} \Leftrightarrow 4 \sin (\frac { \pi} {10}) (1- 2 \sin^2 (\frac { \pi} {10}))=1 \Leftrightarrow 8 \sin^3 (\frac { \pi} {10}) - 4 \sin (\frac { \pi} {10}) +1=0$ . Далеe хотел сделать подстановку и решить кубическое уравнение. Его, конечно, можно решить, пусть даже методом Кардано, но я думаю, что eсть какой-то болеe простой способ, т.к. задача по элементарной математике. Подскажите идею, пожалуйста.

Paскладываем первое слагаемое по формуле синусa тройного угла, приводим подобные. Выносим синус за скобки, сворачиваем по формуле двойного угла... Bce отлично получается.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 12 мар 2010, 20:55

Eсть уравнение: $\cos ^{58} x + \sin ^ {40 } x = 1$ . Идей, к сожалению, нет. Подскажите, пожалуйста.

jarik · Сообщение **jarik** » 12 мар 2010, 21:22

Ответ такой?! $\left{\frac{\pi n}{2};\pi n|n\in Z\right}$

da67 · Сообщение **da67** » 12 мар 2010, 21:29

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 12 мар 2010, 21:44

jarik писал(а):Source of the post
Ответ такой?! $\left{\frac{\pi n}{2};\pi n|n\in Z\right}$

Jarik, да, ответ такой.

da67 писал(а):Source of the post
$\cos ^{58} x \le \cos^2 x$

Mipter, a это из чего следует?

yourdomain.com