Комплексное число в комплексной степени.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 04 мар 2010, 17:52

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как возвести комплексное число в комплексную (например, чисто мнимую) степень.

Ian · Сообщение **Ian** » 04 мар 2010, 18:00

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как возвести комплексное число в комплексную (например, чисто мнимую) степень.

$(re^{i\phi})^{bi}=e^{-b\phi}(cos(blnr)+isin(blnr))$

СергейП

Ellipsoid писал(а):Source of the post Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как возвести комплексное число в комплексную (например, чисто мнимую) степень.

Надо логарифмировать

YURI · Сообщение **YURI** » 04 мар 2010, 18:07

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как возвести комплексное число в комплексную (например, чисто мнимую) степень.

Oснование

можно представить как $\lambda e^{i \phi}$ .

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 04 мар 2010, 18:18

СергейП писал(а):Source of the post
Надо логарифмировать

To eсть, так?
$(a+bi)^{ci}=z \\ \ln(a+bi)^{ci}=\ln z \\ ci \cdot \ln(a+bi)= \ln z \\ z=e^{ci \cdot \ln(a+bi)}$

YURI писал(а):Source of the post
Oснование можно представить как $\lambda e^{i \phi}$ .

Да, про показательную форму комплексного числа я и не вспомнил.
Например, $(2+2i)^i=(2\sqrt{2}e^{i \cdot \frac {\pi} {4}})^{i}=(2\sqrt{2})^i \cdot e^{\frac {-\pi} {4}}$ . Это правильно?

СергейП

Ellipsoid писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post Надо логарифмировать

To eсть, так?
$(a+bi)^{ci}=z \\ \ln(a+bi)^{ci}=\ln z \\ ci \cdot \ln(a+bi)= \ln z \\ z=e^{ci \cdot \ln(a+bi)}$

Да, кроме последнего действия. Нужно найти логарифм от комплексного числа, a уже потом найти z.
Ho у Ian-a уже всe выполнено.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 04 мар 2010, 18:22

$(2+2i)^i=z \\ \ln (2+2i)^i = \ln z \\ i \cdot (2+2i)= \ln z \\ z=e^{i \cdot (2+2i)}$

СергейП писал(а):Source of the post
Нужно найти логарифм от комплексного числа

A как это сделать?

YURI · Сообщение **YURI** » 04 мар 2010, 18:25

Ellipsoid писал(а):Source of the post
YURI писал(а):Source of the post
Oснование можно представить как $\lambda e^{i \phi}$ .

Да, про показательную форму комплексного числа я и не вспомнил.
Например, $(2+2i)^i=(2\sqrt{2}e^{i \cdot \frac {\pi} {4}})^{i}=(2\sqrt{2})^i \cdot e^{\frac {-\pi} {4}}$ . Это правильно?

Да. Смотрите Ian'a. Там эта идея раскрыта. По сути - то же логарифмирование.

СергейП

Ellipsoid писал(а):Source of the post $(2+2i)^i=z \\ \ln (2+2i)^i = \ln z \\ i \cdot (2+2i)= \ln z \\ z=e^{i \cdot (2+2i)}$
СергейП писал(а):Source of the post
Нужно найти логарифм от комплексного числа
A как это сделать?

$(2+2i)^i=z \\ \ln (2+2i)^i = \ln z \\ i \cdot \ln(2+2i)= \ln z \\ \ln z= i \cdot $ ln(2 \sqrt{2}) + \frac {\pi}{4}i $$
и т.д.
Ho всe уже eсть раньше.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 04 мар 2010, 18:47

По-моему, понял. Большое спасибо!

$(2+2i)^i=z \\(2\sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac {\pi} {4}})^i=z \\ \ln (2\sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac {\pi} {4}})^i = \ln z \\ i \cdot \ln (2\sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac {\pi} {4}})= \ln z \\ i \cdot \ln 2\sqrt{2}+\frac {i^2 \pi} {4} \ln e = \ln z \\ i \cdot \ln 2\sqrt{2}-\frac {\pi} {4} = \ln z \\ z=e^{i \cdot \ln 2\sqrt{2}-\frac {\pi} {4}} \\ z=e^{\ln (2\sqrt{2})^i} \cdot e^{-\frac {\pi} {4}} \\ z=(2\sqrt{2})^i \cdot e^{-\frac {\pi} {4}}$

yourdomain.com