интеграл

Jilya · Сообщение **Jilya** » 02 мар 2010, 12:04

Здравствуйте! Я уже задавала вопрос: вычислить неопределенный интеграл от иррациональных функций:
$\int\frac {dx} {2\sqrt{x+1}+^3\sqrt{(x+1)^2}}$ =замена| $$x+1=t^6,dx=6t^5dt| =$$

$\int \frac {6t^5dt} {2\sqrt{t^6}+^3\sqrt{(t^6)^2}}=\frac {6t^5dt} {t^3(2+t)}=6 \int \frac {t^2dt} {2+t}=\int_{}^{}{(t-2+\frac {4} {2+t})dt} =6 \int (t-2)dt +6\int \frac {4} {2+t}dt$ =|замена $y=t-2,z=2+t|= 6 \int y\,dy +6\int \frac {4} {z}\,dz=3{y^2}+24\ln |z|+C=3(\sqrt[6]{x+1}-2)^2+24\ln(2+\sqrt[6]{x+1})+C$
Проверьте пожалуйста.

Jilya · Сообщение **Jilya** » 02 мар 2010, 13:03

проверьте пожалуйста.

СергейП

Jilya писал(а):Source of the post проверьте пожалуйста.

Правильно.

Jilya · Сообщение **Jilya** » 02 мар 2010, 13:27

$3(\sqrt[6]{x+1}-2)^2+24\ln(2+\sqrt[6]{x+1})+C$
тут ничего не надо больше делать (раскрывать скобки)?

СергейП

Jilya писал(а):Source of the post $3(\sqrt[6]{x+1}-2)^2+24\ln(2+\sqrt[6]{x+1})+C$
тут ничего не надо больше делать (раскрывать скобки)?

Можно так oставить, можно раскрыть - не принципиально.
A вот помарки в решении надо исправить - где-то интеграла не хватает, коэффициента. Да и последние замены можно было не делать, сразу можно интегрировать.

Jilya · Сообщение **Jilya** » 02 мар 2010, 13:50

СергейП подскажите, где надо исправить помарки в решении.

СергейП

Можно так
$\int\frac {dx} {2\sqrt{x+1}+^3\sqrt{(x+1)^2}}$ =замена| $$x+1=t^6,dx=6t^5dt| =$$

$=\int \frac {6t^5dt} {2\sqrt{t^6}+^3\sqrt{(t^6)^2}}=\int \frac {6t^5dt} {t^3(2+t)}=6 \int \frac {t^2dt} {2+t}=6 \int{(t-2+\frac {4} {2+t})dt} =\\ = 3t^2- 12t + 24 \ln | t+2| + C = 3 \sqrt[3]{x+1} - 12 \sqrt[6]{x+1} + 24\ln(2+\sqrt[6]{x+1})+C$

yourdomain.com