степенные ряды

паникер

Найти радиус сходимости и интервал степенного ряда

$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {1} {2^n+3^n}(x-1)^n}$
Нахожу интервал сходимости:

$a_n=\frac {1} {2^n+3^n}$

$a_n_+_1=\frac {1} {2^n^+^1+3^n^+^1}$

$R=\lim_{n\right \infty}{\frac {a_n} {a_n_+_1}}=\lim_{n\right \infty}{\frac {2*2^n+3*3^n} {2^n+3^n}}=$
Подскажите, пожалуйста, как мне дальше вычислить этот радиус

Ian · Сообщение **Ian** » 04 фев 2010, 16:00

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 04 фев 2010, 16:02

Радикальным проще.

паникер

Ian писал(а):Source of the post
$R=\lim_{n\right \infty}{\frac {a_n} {a_{n+1}}}=\lim_{n\right \infty}{\frac {2*2^n+3*3^n} {2^n+3^n}}=\lim_{n\right \infty}{\frac{2*(2/3)^n+3}{(2/3)^n+1}}=$

тогда так
$=\frac {2*0+3} {0+1}=3$
Интервал сходимости:
$$-2<x<4$$

Надо исследовать концы интервала?

Ian · Сообщение **Ian** » 04 фев 2010, 17:08

паникер писал(а):Source of the post
Интервал сходимости:

Надо исследовать концы интервала?

Обычно надо. Ha концах общий член рада не будет стремиться к 0

паникер

Ian писал(а):Source of the post
паникер писал(а):Source of the post
Интервал сходимости:

Надо исследовать концы интервала?
Обычно надо. Ha концах общий член рада не будет стремиться к 0

Это будет так? При Х=4
$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {3^n} {2^n+3^n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {1} {(2/3)^n+1}}$
Этот ряд будет сходиться, т.к. n-ый член стремиться к нулю.
При Х=-2. имеем знакочередующийся ряд, который будет абсолютно сходиться,т.к. сходится ряд ,coставленный из абсолютных членов этого ряда.
Итак, интервал -2<=x<=4
Что-то я не так сделала!
При х=4
$\lim_{n\right \infty}{a_n}=1\not=0$
Значит ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.
При х=-2, ряд будет условно сходящимся.
Значит, -2<=x<4Что-то я совсем запуталась!

senior51 · Сообщение **senior51** » 04 фев 2010, 17:53

Попытаюсь обратить ваше внимание:
стремление к нулю n-члена является необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, т.e. из того , что n-й член стремится к нулю, ещё не следует, что ряд сходится,ряд может и расходитья. Поэтому нужны другие аргументы, ваше заключение ошибочно.

Ian · Сообщение **Ian** » 04 фев 2010, 18:02

паникер писал(а):Source of the post
При Х=4
$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {3^n} {2^n+3^n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {1} {(2/3)^n+1}}$
Этот ряд будет сходиться, т.к. n-ый член стремиться к нулю.

Haоборот, n-й член (по модулю) стремится к 1 в каждом из концов интервала,и ряд расходится в концах

паникер

Ian писал(а):Source of the post
паникер писал(а):Source of the post
При Х=4
$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {3^n} {2^n+3^n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {1} {(2/3)^n+1}}$
Этот ряд будет сходиться, т.к. n-ый член стремиться к нулю.
Haоборот, n-й член (по модулю) стремится к 1 в каждом из концов интервала,и ряд расходится в концах

Что-то я не так сделала!
При х=4
$\lim_{n\right \infty}{a_n}=1\not=0$
Значит ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.
При х=-2, ряд будет условно сходящимся,т.к. ряд coставленный из абсолютных членов данного ряда расходится.
Значит, -2<=x<4

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 04 фев 2010, 18:19

паникер писал(а):Source of the post
При х=-2, ряд будет условно сходящимся,т.к. ряд coставленный из абсолютных членов данного ряда расходится.

Вы читать умеете? Ian уже дважды ответ написал.

yourdomain.com