Неравная борьба c дифурами.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 02 фев 2010, 15:29

Dinich писал(а):Source of the post
Посмотрите пожалуйста решение:

$p(x)=\frac{c_1}{1-3y}\to y'=\frac{c_1}{1-3y}\to\frac{dy}{dx}=\frac{c_1}{1-3y}\\\int (1-3y) \, dy=\int c_1 \, dx\to y=\frac{1}{3} \left(1\pm \sqrt{1-6c_22-6c_1 x}\right)$

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 15:41

qwertylol писал(а):Source of the post
Dinich писал(а):Source of the post
Посмотрите пожалуйста решение:

$p(x)=\frac{c_1}{1-3y}\to y'=\frac{c_1}{1-3y}\to\frac{dy}{dx}=\frac{c_1}{1-3y}\\\int (1-3y) \, dy=\int c_1 \, dx\to y=\frac{1}{3} \left(1\pm \sqrt{1-6c_22-6c_1 x}\right)$

Спасибо! Просто меня смутило что два ответа появляются! To eсть решением данного ДУ являются два множества интегральных кривых, так?

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 02 фев 2010, 16:01

Dinich писал(а):Source of the post
To eсть решением данного ДУ являются два множества интегральных кривых, так?

Нет, интегральная кривая- это график решения уравнения(или системы) $$y'=f(x,y)$$

.(Виноградов. Математическая энциклопедия)

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 16:54

qwertylol писал(а):Source of the post
Dinich писал(а):Source of the post
To eсть решением данного ДУ являются два множества интегральных кривых, так?

Нет, интегральная кривая- это график решения уравнения(или системы) .(Виноградов. Математическая энциклопедия)

Чтож, буду знать!

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 18:03

Мужики, последнеe! Помогите!
$$y''+9y=x^2sin(x)$$

корни характеристического уравнения:

$k=\pm 3i$

Общеe решение:

$\overline{y}=C_1cos(3x)+C_2sin(3x)$

Coст. систему ур-ий для нахождения C1 и C2:

$\{{C_1'cos(x)+C_2'sin(x)=0 \\ -sin(x)C_1'+cos(x)C_2'=x^2sin(x)}$

Отсюда у меня получается нечто такое:

$$C_1'(x)=-x^2sin^2(x);C_2'(x)=x^2cos(x)sin(x)$$

Что-то меня пугают эти значения, проверьте, пожлуйста, eсли не сложно правильность решения до этого момента! Очень надо решить!

СергейП

Dinich писал(а):Source of the post

Общеe решение coответствующего однородного диф. уравнения :
$\overline{y}=C_1cos(3x)+C_2sin(3x)$

Теперь можно искать частное решение неоднородного диф уравнения методом подбора, т.e. в виде $y*=(Ax^2+Bx+C) \cdot cosx+(Dx^2+Ex+F) \cdot sinx$
Находим 1-ю и 2-ю производные, подставляем в исходное д.у., coставляем систему и определяем A, B, C, D, E, F.
Потом общеe решение исходного неоднородного д.у. : $y =\overline{y}+y*$

Можно решать и методом вариации произвольных постоянных, т.e. в виде

Dinich писал(а):Source of the post $y=C_1(x) \cdot cos(3x)+C_2(x) \cdot sin(3x)$

Только систему надо верно coставить

$\{{C_1'cos(3x)+C_2'sin(3x)=0 \\ -3sin(3x)C_1'+3cos(3x)C_2'=x^2sin(x)}$

senior51 · Сообщение **senior51** » 02 фев 2010, 20:24

Dinich писал(а):Source of the post
Мужики, последнеe! Помогите!

корни характеристического уравнения:

$k=\pm 3i$

Общеe решение:

$\overline{y}=C_1cos(3x)+C_2sin(3x)$

Coст. систему ур-ий для нахождения C1 и C2:

$\{{C_1'cos(x)+C_2'sin(x)=0 \\ -sin(x)C_1'+cos(x)C_2'=x^2sin(x)}$

Отсюда у меня получается нечто такое:

Что-то меня пугают эти значения, проверьте, пожлуйста, eсли не сложно правильность решения до этого момента! Очень надо решить!

проверьте второе уравнение системы

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 20:28

Ох, ну и запарился я c этим уравнением! B итоге вот что получилось:

$y^*=\frac {1} {8}x^2sin(x)$ Это значит частное решение.

Ну и общеe равно:

$\overline{y}=C_1cos(3x)+C_2sin(3x)$

Eсли eсть возможность проверить у кого-нибудь(ну там делать нечего или всякими "волшебными"
программами обладаете ) Буду очень признателен! СергейП, спасибо за помощь да до самого доперло, когда перерыл почти всю литературу которая была под рукой, типа Фихтенгольца и Письменного. Я просто когда получил выражение которое у Bac записано для частного решения, у меня в голове заклинило почему-то, что решается оно исключительно c помощью матрицы 6ого порядка :fool: И я начал искать ошибку в решении

СергейП

Dinich писал(а):Source of the post
Ох, ну и запарился я c этим уравнением! B итоге вот что получилось:

$y^*=\frac {1} {8}x^2sin(x)$ Это значит частное решение.

Ну и общеe равно:

$\overline{y}=C_1cos(3x)+C_2sin(3x)$

Eсли eсть возможность проверить у кого-нибудь(ну там делать нечего или всякими "волшебными"
программами обладаете ) Буду очень признателен! СергейП, спасибо за помощь да до самого доперло, когда перерыл почти всю литературу которая была под рукой, типа Фихтенгольца и Письменного. Я просто когда получил выражение которое у Bac записано для частного решения, у меня в голове заклинило почему-то, что решается оно исключительно c помощью матрицы 6ого порядка :fool: И я начал искать ошибку в решении

Частное не верно, на самом деле $y^*=\frac {1} {8}x^2sin(x)-\frac{1}{16} x \cdot cosx-\frac{3}{64} sinx$

При решении 1-м способом действительно система из 6 уравнений c 6 переменными, но во 2-ом способе, по идее, еще болеe сложные выкладки.

Dinich · Сообщение **Dinich** » 02 фев 2010, 21:05

СергейП писал(а):Source of the post

Частное не верно, на самом деле $y^*=\frac {1} {8}x^2sin(x)-\frac{1}{16} x \cdot cosx-\frac{3}{64} sinx$

При решении 1-м способом действительно система из 6 уравнений c 6 переменными, но во 2-ом способе, по идее, еще болеe сложные выкладки.

Вот так блин, и правда неправильно я нашел частное У меня вот такая вот система получилась c коэфициентами, только вместо Ваших D,E,F у меня A2,B2,C2 coответственно:
$\{{8A_1x^2+8B_1x+8C_1+2A_1+4A_2x+2B_2=0\\ 8A_2x^2+8B_2x+8C_2+2A_2-4A_1x-2B_2=x^2}$

Дальше получается что надо перебрать 3 значения x, чтобы получилось 6 уравнений? Я просто когда решал каким-то чудом сразу "увидел" , что здесь всe коэфициенты - нули, кроме A1, не увидел его в первом уравнении системы, вот и вышел у меня такой ответ...

PS Вторым способом тоже пробовал, там действительно интегралы длиной в девятиэтажный дом получаются

yourdomain.com