Отношение дифферренциалов

ilovesky · Сообщение **ilovesky** » 30 дек 2009, 17:02

Хочу спросить, какие условия накладываются на использование формулы $\frac {dy} {dx} = \frac {dy} {dt} \frac {dt} {dx}$ .

Рассмотрим три вещественные величины: x, y и t. Известно, что $x = t^3, y \equiv 0$
Из вышеприведенного следует:
$y(x) = 0 \\y(t) = 0 \\x(t) = t^3 \\t(x) = \sqrt[3] x$

Рассмотрим функцию y(x) в окрестности 0. $\lim_{x\right 0} \frac {y(x)-y(0)} x = \lim_{x\right 0} \frac 0 x = 0 \; \Rightarrow \; y'(0)=0$

C другой стороны $y'(x) = \frac {dy} {dx} = \frac {dy} {dt} \cdot \frac {dt} {dx} \; \Rightarrow \; y'(x) = \frac {y'_t(t)} {x'_t(t)}$ , где
$y'_t(t) = 0 \; (\forall t) \\x'_t(t) = \lim_{a\right t} \frac {x(a)-x(t)} {a-t} = 3t^2 \\x'_t(0) = 0$

Подставляем значения производных в точке t=0 (x=0, y=0): $y'(0) = \frac {0} {3t^2} \; |_{t=0} = \{ \frac 0 0 \}$

Почему возникает неопределенность? Верно ли моё предположение, что при использовании формулы $\frac {dy} {dx} = \frac {dy} {dt} \cdot \frac {dt} {dx}$ мы должны что-то учитывать, накладывать какие-то дополнительные условия и ограничения?

P.S. Что делает "
" в сообщении в предпросмотре? B режиме [url=http://e-science.ru/math_tag/]http://e-science.ru/math_tag/[/url] его нет!

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 30 дек 2009, 17:12

Если Вы ставите \\, то нужно продолжать писать на этой строке, a не переносить, перенос произойдёт автоматически.

alexy.74 · Сообщение **alexy.74** » 30 дек 2009, 18:58

обшибся

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 30 дек 2009, 19:53

ilovesky писал(а):Source of the post
Почему возникает неопределенность? Верно ли моё предположение, что при использовании формулы $\frac {dy} {dx} = \frac {dy} {dt} \cdot \frac {dt} {dx}$ мы должны что-то учитывать, накладывать какие-то дополнительные условия и ограничения?

Естественно должны. И про это в любом учебнике по мат. анализу сказано. Просто надо внимательно читать.

yourdomain.com