Уравнение Хопфа

Нормальный

Здравствуйте. Вопрос следующий: кто может подсказать какое-нибудь решение (в квадратурах) уравнения Хопфа
$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0$ .
Данное уравнение является частным случаем уравнения Бюргерса и описывает, в частности, решения c ударными волнами в газовой динамике. Для определенности можно рассмотреть задачу Коши $0<t<T,\ -\infty<x<\infty$ c начальными условиями $$u(x,0) = 1$$

. Кажется, в курсе математической физики существует несложный алгоритм для решения квазилинейных уравнений первого порядка, однако он у меня напрочь вылетел из головы! Пытался угадать решение - не вышло

. Задача возникла в связи c тем, что хотелось бы иметь модельное решение для данного уравнения в целях проверки правильности реализации некоторых вычислительных алгоритмов. Благодарю.

Нормальный

Вопрос можно считать закрытым - удалось найти требуемое. B частности, решением уравнения служит функция $\displaystyle{u(x,t)=\frac{x}{t}}$ .

V.V. · Сообщение **V.V.** » 15 дек 2009, 06:05

Ваше решение не определено при t=0.

A вот задаче Коши, которая указана в первом сообщении, удовлетворяет u(x,t)=1.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 15 дек 2009, 07:08

Для решения такого рода уравнений служит метод характеристик. См. например, Л.Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Гл. 5,: Уравнения в частных производных первого порядка.

yourdomain.com