Робяты, подсобите c интегралом

revolct · Сообщение **revolct** » 07 дек 2009, 20:40

Чёт я забыл, как такие считать

$\int_{}^{}{\frac {1} {(x^2+1)^3} dx}$

jarik · Сообщение **jarik** » 07 дек 2009, 21:29

Замена $x=\tg t$ или реку рентной формулой воспользоваться...
[url=http://www.sosmath.com/tables/integral/integ8/integ8.html]http://www.sosmath.com/tables/integral/integ8/integ8.html[/url]

revolct · Сообщение **revolct** » 07 дек 2009, 22:15

типа вот так например -
z=x^2+1
тогда
dz= 2dx
dx= 2/dz

1/2 INT (1/z^3)dz = |1/2 ln ((x^2+1)^3) +c| ?

Evaf · Сообщение **Evaf** » 10 дек 2009, 06:57

revolct писал(а):Source of the post
типа вот так например -
z=x^2+1
тогда
dz= 2dx
dx= 2/dz

1/2 INT (1/z^3)dz = |1/2 ln ((x^2+1)^3) +c| ?

нет , не так. Ваша замена здесь не уместна, так как из нее следует, что
$x=\sqrt{z-1}$

$dx=\frac {1} {2*\sqrt{z-1}}dz$

в результате интеграл будет не легче

Evaf · Сообщение **Evaf** » 10 дек 2009, 07:23

Вам подсказали замену

$$x=tg( t)$$

$dx=\frac {1} {cos^2(t)}dt$
тогда имеем
$\int_{}^{}{\frac {1} {{(tg^2t+1})^3}*\frac {1} {cos^2t}}dt=\int_{}^{}{\frac {cos^6t} {cos^2t}}dt=\int_{}^{}{cos^4t}dt$

revolct · Сообщение **revolct** » 13 дек 2009, 15:27

ребята, остался вопрос, почему ${\frac {1} {{(tg^2t+1})^3}$ равно косинусу в шестой?

jarik · Сообщение **jarik** » 13 дек 2009, 16:07

revolct писал(а):Source of the post
ребята, остался вопрос, почему ${\frac {1} {{(tg^2t+1})^3}$ равно косинусу в шестой?

Потому что $\tg^2\beta+1=\frac{1}{\cos^2\beta}\; \; (\tg^2\beta+1)^3=\frac{1}{\cos^6\beta}$

a где можно почитать на эту тему?

По данному заданию есть похожий пример

revolct · Сообщение **revolct** » 13 дек 2009, 17:17

т.e. можно потом посчитать интеграл по рекурсивной формуле для косинуса, но потом же всё равно останется sin(t), в который придётся подставлять tn(x). Непонятно

Evaf · Сообщение **Evaf** » 14 дек 2009, 07:07

Для подсчета этого интеграла можно воспользоваться далее формулой (поскольку запомнить все рекурентные формулы проблематично)
$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$
$\cos^2(x)=\frac {1} {2}(\cos(2x)+1)$
Тем самым вы понизите степень интеграла

$\int_{}^{}{cos^4t}dt=\int_{}^{}{\frac {1} {4}(\cos(2t)+1)^2dt=\frac {1} {4}*\int_{}^{}(\cos^2(2t)+2*\cos(2t)+1)dt=\frac {t} {4}+\frac {\sin(2t)} {4}+\frac {1} {4}\int_{}^{}\cos^2(2t)dt=\frac {t} {4}+\frac {\sin(2t)} {4}+\frac {1} {8}\int_{}^{}(\cos(4t)+1)dt=\frac {3t} {8}+\frac {\sin(2t)} {4}+\frac {\sin(4t)} {32}$

revolct · Сообщение **revolct** » 14 дек 2009, 14:56

примерно про такое развитие событий я и писал выше

yourdomain.com