Задача на замощение квадрата

Shtirlitz · Сообщение **Shtirlitz** » 18 ноя 2009, 20:53

дана последовательность {Ак} , где Ак принадлежит множеству натуральных чисел.
также известно, что Σ от 1 до ∞ 1/(Ак*Ак+1) = 1.
нужно найти какие-либо условия на последовательность {Ак} для замощения квадрата размером 1х1 прямоугольниками. первый длиной 1/Ак , шириной 1/Ак+1. второй длиной 1/Ак+1, шириной 1/Ак+2 и так далее...
условия только желательно доказать. помогите, пожалуйста, кто сможет.

Ian · Сообщение **Ian** » 18 ноя 2009, 22:12

Shtirlitz писал(а):Source of the post
дана последовательность {Ак} , где Ак принадлежит множеству натуральных чисел.
также известно, что Σ от 1 до ∞ 1/(Ак*Ак+1) = 1.
нужно найти какие-либо условия на последовательность {Ак} для замощения квадрата размером 1х1 прямоугольниками. первый длиной 1/Ак , шириной 1/Ак+1. второй длиной 1/Ак+1, шириной 1/Ак+2 и так далее...

Достаточные условия,чтобы замостить так,что после каждой очередной уложенной n-й четверки прямоугольников оставался прямоугольник $$C_n*D_n$$

,n=0,1...( $$C_0=D_0=1$$

):
1. $(A_{4n+1}+A_{4n+3},A_{4n+2}+A_{4n+4})=(C_n,D_n)$ &
2. $(C_{n+1},D_{n+1})=(C_n-A_{4n+3}-A_{4n+5},A_{4n+4})$ ,где имеется в виду равенство неупорядоченных пар чисел.Таким образом,каждые новые 4 числа последовательности можем определять c двумя степенями свободы (подчиняясь неравенству в условии),a также вычислить очередные D и C. He рисую,но четверка укладывается "по кругу".Неудобные условия, но устраивать внутри квадрата бесконечное множество предельных точек-еще труднее уследить.

Самоед

Shtirlitz писал(а):Source of the post
дана последовательность {Ак} , где Ак принадлежит множеству натуральных чисел.
также известно, что Σ от 1 до ∞ 1/(Ак*Ак+1) = 1.
нужно найти какие-либо условия на последовательность {Ак} для замощения квадрата размером 1х1 прямоугольниками. первый длиной 1/Ак , шириной 1/Ак+1. второй длиной 1/Ак+1, шириной 1/Ак+2 и так далее...
условия только желательно доказать. помогите, пожалуйста, кто сможет.

Нужно, наверное, искать геометрическую прогрессию, у которой сумма бесконечной последовательности равна 1. (то есть не подряд натуральный ряд использовать, a только те числа , которые образуют геометрическую последовательность дробей. Если это так, то и искать не нужно числа, a только доказать возможность образования такой прогрессии из дробей .
Например 1/2+1/4+1/8+1/16+.....в сумме на бесконечности имеет предел 1.
площадь первого прямоугольника 1/2, второго 1/4 третьего 1/8.....

Shtirlitz · Сообщение **Shtirlitz** » 20 ноя 2009, 21:21

Ian, Самоед, спасибо большое за помощь!

:)

Shtirlitz · Сообщение **Shtirlitz** » 22 ноя 2009, 22:41

Ian писал(а):Source of the post
Достаточные условия,чтобы замостить так,что после каждой очередной уложенной n-й четверки прямоугольников оставался прямоугольник ,n=0,1...():
1. $(A_{4n+1}+A_{4n+3},A_{4n+2}+A_{4n+4})=(C_n,D_n)$ &
2. $(C_{n+1},D_{n+1})=(C_n-A_{4n+3}-A_{4n+5},A_{4n+4})$ ,где имеется в виду равенство неупорядоченных пар чисел.

только я что-то не совсем могу разобраться c этим условием... ведь если у нас последовательность натуральных чисел, и тогда $A_{4n+1}+A_{4n+3} , A_{4n+2}+A_{4n+4}$ будут числами больше единицы... a квадрат размером 1 на 1 , то почему такие размеры у прямоугольника $$C_n*D_n$$

? что вы здесь имели ввиду? не могли бы вы показать какой-нибудь простой пример, на котором срабатывало бы это условие?...

Ian · Сообщение **Ian** » 02 дек 2009, 00:12

Должен поправиться-в том посте,который уже не редактируемый,я имел в виду не A,a им обратные величины.Картинка на клетчатой бумажке:[img]/modules/file/icons/application-octet-stream.png[/img] rect.rar

Shtirlitz · Сообщение **Shtirlitz** » 02 дек 2009, 22:58

теперь понятно. спасибо большое!

yourdomain.com