Производящая функция чисел трибоначчи

shandow · Сообщение **shandow** » 10 ноя 2009, 16:14

Ian писал(а):Source of the post
Да,прочитал Бронштейна. Мы сможем получить формулу для n-го члена рекуррентного соотношения
$t_{n+1}=t_n+t_{n-1}+t_{n-2}$ чуть более длинного,чем у него,вида где - корни характеристического уравнения -зто обратные величины корней того уравнения,o котором Вы спрашивали вначале. Предлагаю без производящей функции,в лоб,подставить их в данное соотношение и начальные условия.

Что такое "C", "A", "B"?

Ian · Сообщение **Ian** » 10 ноя 2009, 16:18

shandow писал(а):Source of the post

Что такое "C", "A", "B"?

Константы . У Бронштейна для Фибоначчи было 2 по $\frac{1}{\sqrt{5}}$ a у нас соответственно 3.

shandow · Сообщение **shandow** » 10 ноя 2009, 16:23

Ho Бронштейн их искал за производящей. Как же их найти без нее?

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 10 ноя 2009, 16:31

См. прикреплённую методичку.[img]/modules/file/icons/application-pdf.png[/img] 014.pdf

Ian · Сообщение **Ian** » 10 ноя 2009, 16:41

shandow писал(а):Source of the post
Ho Бронштейн их искал за производящей. Как же их найти без нее?

У Бронштейна была задача продемонстрировать возможности производящих функций в разных областях. Inspektor указал другой известный способ.Короче формулы. A потом и тот посмотрим.
Сейчас Вы увидите, что при всех n=2,3,... соотношение обращается в тождество, даже не зная пока A,B,C, только благодаря тому что взяты корни уравнения.
2.Надо получить три уравнения на A,B,C из начальных условий при n=1,2,3. Через невыраженные пока корни.
3.Займемся корнями. Покажу один фокус.
Сделайте сами 1 и 2.

shandow · Сообщение **shandow** » 11 ноя 2009, 09:21

Сначала для простоты уравнение $$t_n=Cx_1^n+(A+Bi)x_2^n+(A-Bi)x_3^n$$

заменим на $$t_n=Cx_1^n+Ax_2^n+Bx_3^n$$

. Используя начальные условия $$t_0=0; t_1=t_2=1$$

$B=\frac {1} {(x_2+x_1)(1-x_3-x_1)-(x_3^2-x_1^2)}$

$A=\frac {1-x_3-x_1} {(x_2-x_1)((x_2+x_1)(1-x_3-x_1)-x_3^2-x_1^2)}$

$C=-A-B=\frac {x_3-x_2-2x_1-1} {(x_2-x_1)((x_2+x_1)(1-x_3-x_1)-x_3^2-x_1^2)}$

Жду дальнейших указаний:)

Ian · Сообщение **Ian** » 11 ноя 2009, 10:36

Вернемся к $$x_2=a+bi , x_3=a-bi$$

Будем искать только 2 комплексных корня кубического уравнения.To что называл фокусом:
$$(a+bi)^3-(a+bi)^2-(a+bi)-1=0$$

Раскрываем и приравниваем Re и Im:
$$a^3-a^2-a-1=b^2((3a-1)$$

Поскольку мы ищем только комплексные, то 2e уравнение системы на b сократим
Подставим выражение для b^2 из первого во второе...(проверьте)
$$4a^3-4a^2+1=0$$

но мне больше нравится
$(\frac{1}{a})^3-4*\frac{1}{a}+4=0$ ,для него сразу пишется формула Кардано и выползает неуничтожимое $\sqrt{ \frac{43}{3}}$ To есть этот корень,каким бы путем Вы ни решали задачу, размножится в Вашей формуле, проползет во все ee числители и знаменатели. И если к нему привыкнуть и полюбить,формула будет казаться красивой.Хотя и трудновата в латексе.

shandow · Сообщение **shandow** » 11 ноя 2009, 10:53

Тоесть, если подставить все это в формулу $$t_n=Cx_1^n+(A+Bi)x_2^n+(A-Bi)x_3^n$$

будем иметь формулу н-го члена чисел трибоначчи?

Иеще вопрос
если у нас есть уравнение $$x^3-x^2-x-1=0$$

и комплексные корни равны $$x_2=a+bi, x_3=1-bi $$

тогда почему имеем одно уравнение $$(a+bi)^3-(a-bi)^2-(a+bi)-1=0$$

вместо системы
$\{{(a+bi)^3-(a+bi)^2-(a+bi)-1=0 \\ (a-bi)^3-(a+bi)^2-(a-bi)-1=0}$

Ian · Сообщение **Ian** » 11 ноя 2009, 11:19

shandow писал(а):Source of the post
Тоесть, если подставить все это в формулу будем иметь формулу н-го члена чисел трибоначчи?

Иеще вопрос
если у нас есть уравнение и комплексные корни равны тогда почему имеем одно уравнение вместо системы
$\{{(a+bi)^3-(a+bi)^2-(a+bi)-1=0 \\ (a-bi)^3-(a+bi)^2-(a-bi)-1=0}$

1)да
2)мы из первого уравнения получили систему двух действительных. второе комплексное уравнение сопряженное к первому и даст те же два что уже есть

shandow · Сообщение **shandow** » 11 ноя 2009, 11:27

Я наверное что то не понимаю. Вот у нас уравнение $$(a+bi)^3-(a-bi)^2-(a+bi)-1=0$$

почему почему $$x^2=(a-bi)^2$$

a

?

yourdomain.com