Помогите решить интеграл c параметрами

TeRRoRisT_90

Задача такова:
$\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(mx)}{(a^2+x^2)^2} \, dx$ .

Где $$a$$

,

- параметры и оба > 0. B Демидовиче ничего путного на данный счет не нашел...

Sara90 · Сообщение **Sara90** » 17 сен 2009, 18:58

Сделайте преобразование Лапласа подынтегральной функции по параметру m.
Думаю, легче не вычислить.

Георгий

Нашел предварительно такое соотношение:

$\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos \left( mx \right) }{ \left( {a}^{2}+{x}^{2} \right) ^{2}}}{dx}={\frac {K\pi }{R{e^{ma}}}}$

где K и R были вычислены для конкретных m и a.

m a K R
1 1 1 2
1 2 3 32
1 3 1 27
1 4 5 256
1 5 3 250
1 6 7 864
1 7 2 343
.......
2 1 3 4
2 2 5 32
2 3 7 108
2 4 9 256
2 5 11 500
2 6 13 864
.....
3 1 1 1
3 2 7 32
3 3 5 54
3 4 13 256
3 5 4 125
3 6 19 864
......

Связи очень четкие, но нет времени как следует засесть и найти K(m,a) и R(m,a)

Ho все-таки одолел! : $K=ma+1 \, \,\,; \,\,\, R=4a^3$ . To есть:

$\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos \left( mx \right) }{ \left( {a}^{2}+{x}^{2} \right) ^{2}}}{dx}= \frac { \pi(ma+1)}{4a^3 e^{ma}}$

Очень бы хотелось узнать - как получить это решение чисто аналитически?

Sara90 · Сообщение **Sara90** » 17 сен 2009, 21:05

Георгий писал(а):Source of the post

$\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos \left( mx \right) }{ \left( {a}^{2}+{x}^{2} \right) ^{2}}}{dx}= \frac { \pi(ma+1)}{4a^3 e^{ma}}$

Очень бы хотелось узнать - как получить это решение чисто аналитически?

Чисто аналитически, по Лапласу

Окончательно имеем

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 17 сен 2009, 21:19

Такие интегралы обычно вычисляются c помощью теоремыо вычетах и леммы Жордана. Ищите в книгах по теории функций комплексной переменной.

Георгий

Ну, красотища! Ай да Лаплас! Беру на заметку вывод решения. Спасибо.

Данный интеграл меня заинтересовал тем, что благодаря ему я нашел интересные тождества:

$\int_{0}^{\infty} \frac{2 cos(x)}{1+x^2} \, dx =\int_{0}^{\infty} \frac{2 x \cdot sin(x)}{1+x^2} \, dx = \frac { \pi}{e}$ .

Оба этих интеграла численно равны отношению двух великих констант математики.

yourdomain.com