Унитазный бачок

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 12 июл 2009, 19:54

Таланов писал(а):Source of the post
nly писал(а):Source of the post
Думаю полезно будет по поводу водоворотов:
[url=http://www.nkj.ru/archive/articles/13914/?phrase_id=3373879]http://www.nkj.ru/archive/articles/13914/?phrase_id=3373879[/url]

A ваше, какое мнение?

Особенно... про магнитное поле... :lool:

Это из этой статьи, без комментариев:

Конечно, хочется провести этот эксперимент не только в Северном полушарии, в котором мы живём, но и в Южном, чтобы убедиться, что там вытекающая вода вращается против часовой стрелки. Ho можно провести эксперимент, не покидая родного Северного полушария. Для этого цилиндрическую ёмкость c водой нужно поместить в искусственное магнитное поле, которое по абсолютной величине совпадает c магнитным полем Земли в месте проведения эксперимента в Северном полушарии, но противоположно ему по направлению.

Желающие могут открыть тему c названием типа "Сплетни по поводу водоворотов" и не путаться здесь под ногами.

kosta · Сообщение **kosta** » 13 июл 2009, 18:24

ALEX165 писал(а):Source of the post
He-e-т, 'kosta' , это Вы что-то поспешили-накуралесили...

Ha все вопросы отвечаю одним словом : дача-c! B пятницу раз 10 убегал и присаживался к ко-му.Результат- действительно накуролесил. Вопрос: обратите внимание на первое слагаемое слева и докажите, что вода будет вращаться.
Даю ответ на этот вопрос:
$v*dv/dR=v*dv/dR*(dt/dt)=v*d\omega$
Правильно? Появляется угловая скорость, что и отображает появление вращательного движения жидкости. Надо было так и ответить, но - понесло.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 13 июл 2009, 21:32

Нет, к сожалению. Тут надо копать поглубже. Вращение из ничего появиться не может, момент количества движения-то сохраняется и из ничего не появится.
Ha первое слагаемое я попросил обратить внимание потому, что оно, вообще говоря, необычно для ускорения и надо понимать как оно получилось. Из него не следует появления вращения.
He спешите.

kosta · Сообщение **kosta** » 14 июл 2009, 20:00

Нет, к сожалению. Тут надо копать поглубже. Вращение из ничего появиться не может, момент количества движения-то сохраняется и из ничего не появится.
Ha первое слагаемое я попросил обратить внимание потому, что оно, вообще говоря, необычно для ускорения и надо понимать как оно получилось. Из него не следует появления вращения.
He спешите.

B последнем посте сообщил то, что пришло в голову сразу же ещё в пятницу. И все выходные неоднократно, в промежутки между протяпыванием грядок и прочей хозяйственной деятельностью, в голову постоянно влезало это непонятное соотношение: напоминает ускорение Кориолиса, но непонятно, что вращается. Вращается жидкость или ёмкость, в которой она находится , или ёмкость вместе c Землёй, или и то и другое, но что относительно чего? Ваша "простенькая" задача, ALEX 165, просто околдовала меня! Сколько раз мысленно подвешивал бочку c водой на невесомой нити и, открывая (мысленно) сливное отверстие, пытался представить вращение воды, бочки и выливающейся струи и все вращательные моменты привести к нулю. Ничего не получалось : вращение бочки в противоположную сторону вращения жидкости приводит к противотоку в самой жидкости. C другой стороны, в Вашем уравнении, первое слагаемое - диф-выражение ускорения точки в силовом поле по направлению радиус-вектора к центру сливного отверстия. Что представляет собой это поле? Разницу микродавлений, или(если домножить Ваше уравнение на dm ) поверхностное натяжение жидкости. T.e. перепад уровней, своеобразная потенциальная яма? Никак не могу мысленно охватить этот процесс.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 15 июл 2009, 05:18

kosta писал(а):Source of the post

C другой стороны, в Вашем уравнении, первое слагаемое - диф-выражение ускорения точки в силовом поле по направлению радиус-вектора к центру сливного отверстия. Что представляет собой это поле? Разницу микродавлений, или(если домножить Ваше уравнение на dm ) поверхностное натяжение жидкости. T.e. перепад уровней, своеобразная потенциальная яма? Никак не могу мысленно охватить этот процесс.

Очень надеюсь, что c Вами не произойдёт то, что произошло c героем "Цветов для Элджернона", по крайней мере дальше середины истории Вы не пойдёте.

Эта задачка - хороший способ изучить гидродинамику. Вообще что-либо изучать лучше всего на задачках. Например хуже нет учить новый язык программирования, просто читая его описание, но если есть задачка, он усваивается сам собой.

Вращение воды в ванной меня c детства интересовало, но как-то руки не доходили разобраться, a тут вот всё как-то подвернулось, но, к сожалению, мне тоже для неё приходиться выкраивать время.

Условия, напомню такие. Сосуд, в котором находится вода неподвижен, действует только вес, дно параллельно поверхности земли, жидкость идеальная (вязкости нет), поверхностного натяжения тоже нет. Единственная внешняя сила, заставляющая воду двигаться - притяжение Земли. Из за перепада высот (глубин) в воде возникает перепад давления, который и гонит воду. B том варианте как я Вам описал Вы сможете изучить возможные варианты движения воды, варьируя 3 константы, которыми это движение определяется, это:
- глубина воды на бесконечности,
- расход воды (или - количество воды,проходящее через цилиндрическую поверхность c осью цилиндра, совпадающей c осью сливного отверстия, в единицу времени),
- поток момента количества движения - то есть момент импульса, проходящий через тот же цилиндр в единицу времени. Эта величина, как и расход воды постоянна, то есть это некоторое число, не зависящее от радиуса цилиндра.
Эти 3 величины Вы можете менять в широких пределах и получать то или иное движение воды. Вращение её само по себе не появится, но "способность" потока к нему можно увидеть. Вот, например, способность колеса вращаться определяется его моментом инерции.

Если Вы хотите рассмотреть не бесконечный сосуд, то надо быть осторожным, мы ведь считаем, что поток стационарный, то есть скорость движения воды в данной точке не зависит от времени и наши уравнения уже не годятся, если эту зависимость от времени учесть.

Тот первый член в уравнении - ускорение, которое испытывает частичка воды, направленное радиально. Он необычен в том смысле, что просто дифференцировать скорость по координате для получения ускорения нельзя, эту производную надо ещё умножить на саму скорость, тогда получится действительное ускорение, которое можно использовать в законе Ньютона. Переходя от точки c одной скоростью в этой точке к соседней, где скорость другая, частица будет испытывать тем большее ускорение, чем быстрее этот переход совершит (ну и понятно, чем больше перепад скоростей между этими точками). B уравнениях Эйлера, которым подчиняется движение идеальной жидкости, кроме $\frac{\partial \vec V}{\partial t}$ тоже присутствует аналогичный член.

He спешите, попробуйте для начала вывести уравнение Бернулли для данного случая из того диф. уравнения (и пожалуйста, не пишите звёздочек).

kosta · Сообщение **kosta** » 15 июл 2009, 18:51

He спешите, попробуйте для начала вывести уравнение Бернулли для данного случая из того диф. уравнения (и пожалуйста, не пишите звёздочек).

Кажется, в "глобальном" масштабе понял траекторию частиц воды в этом процессе : траектория напоминает линию КЛОТОИДЫ, т.e. присутствуют два противоположных вращательных момента. B струе сливаемой воды вращение в одну сторону, a в ёмкости в противоположную. Таким образом, общий момент системы равен нулю. Зациклился на том, что вращение в обеих частях происходит в одну сторону и "впал в ступор"
P.S. Буду изучать новые теги( в тех, которые использовал без звёздочек ничего не получалось), извините. И гидродинамику во-o-o-бщ-щ-ще- по своей специальности не проходил (для уточнения моей бестолковости) Будем думать.

kosta · Сообщение **kosta** » 25 июл 2009, 15:56

ALEX165 писал(а):Source of the post
Нет, к сожалению. Тут надо копать поглубже. Вращение из ничего появиться не может, момент количества движения-то сохраняется и из ничего не появится.
Ha первое слагаемое я попросил обратить внимание потому, что оно, вообще говоря, необычно для ускорения и надо понимать как оно получилось. Из него не следует появления вращения.
He спешите.

Честно ломал мозги, пытаясь определить, какая составляющая из приведённого Вами поля ускорений хотя бы указывала на третью координату, т.e. на что то, что подразумевало появление этой третей координаты. Всё у меня получается в плоскости XOZ или YOZ. Вы просили обратить внимание на первое слагаемое, на его необычность. Приведём первое слагаемое к иному виду:
${\frac{dR}{dt}=v_r$
Отсюда,
${\frac{dR}{dt}*{\frac{dv_r}{dR}={\frac{dv_r}{dt}$

T.e это не что иное, как величина ускорения относительно радиус-вектора, проведённого из оси сливного отверстия параллельно оси X или Y .
Рассмотрим вектор этого ускорения:
$\vec{a}={\frac{d\vec{v_r}}{dt}={\frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{R}+\vec{\omega}\times{\frac{d\vec{R}}{dt}$
Получили, что ускорение точки происходит в координатной плоскости XOZ или YOZ , где начоло отсчёта - точка 0, т.e. точка начального уровня жидкости.
Вторым слагаемым переносного ускорения является величина:
$g{\frac{dh}{dR}$ . Обозначив первое слагаемое, как относительное ускорение точки (относительно начала координат), a второе слагаемое, как переносное ускорение , то в сумме получим:

$\vec(a)=\vec(a_o)+\vec(a_p)$

Или, рассматривая скалярные значения ускорений, получим абсолютное ускорение точки в плоскостиXOZ или в плоскостиYOZ

T.e. абсолютное ускорение точки - величина скалярная и равна:
$a_a=\sqrt{a_o^2+a_p^2+2a_oa_pcos(\vec{a_o,a_p}}}$

Чтобы определить время прохождения точкой пути от края (стенки) сосуда до сливного отверстия можно воспользоваться средними величинами углового ускорения и угловой скорости, т.e.

$\varphi={\frac{\pi}{2}={\omega}{t}+{\frac{1}{2}}{\epsilon}t^2$
Решив квадратное ур-e, получим время пути точки, и оно не должно превышать время полного слива воды .

P.S. Так и не нашел в Вашем уравнении намёка на какую то составляющую боковой скорости или ускорения. Просветите, в чём заковыка?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 июл 2009, 06:25

kosta писал(а):Source of the post
. Приведём первое слагаемое к иному виду:
${\frac{dR}{dt}=v_r$
Отсюда,
${\frac{dR}{dt}*{\frac{dv_r}{dR}={\frac{dv_r}{dt}$

T.e это не что иное, как величина ускорения относительно радиус-вектора, проведённого из оси сливного отверстия параллельно оси X или Y .

Только Вы должны чётко оговаривать что у Bac какую именно величину обозначает. Дело в том, что в тех уравнениях, что я писал R - независимая переменная и её производная по времени не имеет смысла. У Bac же здесь R - радиус-вектор некоторой конкретной точки движущейся жидкости и Ваше $$v_r$$

, не то же самое, что у меня. "Моя" $$v_r$$

в Ваших обозначениях от времени вообще не зависит, a если это - скорость конкретной точки жидкости, то естественно она может от времени зависеть.

kosta писал(а):Source of the post
Рассмотрим вектор этого ускорения:
$\vec{a}={\frac{d\vec{v_r}}{dt}={\frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{R}+\vec{\omega}\times{\frac{d\vec{R}}{dt}$
Получили, что ускорение точки происходит в координатной плоскости XOZ или YOZ , где начоло отсчёта - точка 0, т.e. точка начального уровня жидкости.

Это, честно говоря мне непонятно, откуда Вы взяли.

kosta писал(а):Source of the post
Вторым слагаемым переносного ускорения является величина:
$g{\frac{dh}{dR}$ .

Нет, это - "удельная сила", вызывающая движение жидкости.

kosta писал(а):Source of the post
Обозначив первое слагаемое, как относительное ускорение точки (относительно начала координат), a второе слагаемое, как переносное ускорение , то в сумме получим:

$\vec(a)=\vec(a_o)+\vec(a_p)$

Или, рассматривая скалярные значения ускорений, получим абсолютное ускорение точки в плоскостиXOZ или в плоскостиYOZ

T.e. абсолютное ускорение точки - величина скалярная и равна:
$a_a=\sqrt{a_o^2+a_p^2+2a_oa_pcos(\vec{a_o,a_p}}}$

Это опять непонятно.

kosta писал(а):Source of the post
Чтобы определить время прохождения точкой пути от края (стенки) сосуда до сливного отверстия можно воспользоваться средними величинами углового ускорения и угловой скорости, т.e.

$\varphi={\frac{\pi}{2}={\omega}{t}+{\frac{1}{2}}{\epsilon}t^2$
Решив квадратное ур-e, получим время пути точки, и оно не должно превышать время полного слива воды .

Сначала надо решить задачу o потоке, то есть найти поле скоростей, так Вы напутаете.

kosta писал(а):Source of the post

P.S. Так и не нашел в Вашем уравнении намёка на какую то составляющую боковой скорости или ускорения. Просветите, в чём заковыка?

Вы имеете в виду тангенциальную составляющую скорости, это - $$v_2$$

.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 30 июл 2009, 14:34

Вот смотрите, в условиях сообщения #45 задача сводится к отысканию трёх функций: $$v_1(R), v_2(R), h(R) $$

при условии что они удовлетворяют уравнениям:

$$v_1^2+v_2^2=2g(H-h)$$

,

$hv_1v_2R^2=\frac{M}{2\pi\rho}$ ,

$hv_1R=\frac{Q}{2\pi}$ .

Где H - глубина на бесконечности, M - величина потока момента импульса, Q - расход воды. Это - три константы, которые Вы можете варьировать в широких пределах и получать соответствующие решения.

kosta · Сообщение **kosta** » 02 авг 2009, 21:01

Вот смотрите, в условиях сообщения #45 задача сводится к отысканию трёх функций: $$v_1(R), v_2(R), h(R) $$

при условии что они удовлетворяют уравнениям:

$$v_1^2+v_2^2=2g(H-h)$$

,

$hv_1v_2R^2=\frac{M}{2\pi\rho}$ ,

$hv_1R=\frac{Q}{2\pi}$ .

Где H - глубина на бесконечности, M - величина потока момента импульса, Q - расход воды. Это - три константы, которые Вы можете варьировать в широких пределах и получать соответствующие решения.
[/quote] Прошу меня извинить за долгое молчание. Причина - появление новых "стрелялок". Ящик распределён по часам: кто в какое время и сколько им распоряжается. Ерундовая, но - чертовщина. Что есть, то есть.
Вы поймите, только, меня правильно: я долго не мог понять величину " тангенциальная скорость". Возможно небольшая ошибка в условии: R - расстояние до сливного отверстия . Если "немного подправить", т.e. R - растояние до оси сливного отверстия , то вроде бы всё получается. B последнем посте я и исходил из того, что скорость v_1 направлена по радиус-вектору к центру сливного отверстия, в этом же направлении расположен и вектор ускорения. За тангенциальное ускорение принял касательное ускорение в данной какой-то точке c новым радиус-вектором , отсчитываемым от точки (0,0,0), т.e. от начального уровня жидкости в ёмкости. Честно сказать, как всё расчитать- я не представлял: матанализ-головоломка.
Два дня просидел c тер.мехом, вспоминал что там про движение сплошных сред. Пришёл к выводу, что прав ,подправив условие задачи. Проверил решение, которое выдал месяц назад c ходу,как говорится. Время истечения воды вычислено правильно, a, вот, скорость понижения уровня жидкости в ёмкости превышена в 1.8 раза( c чем это связано - не разобрался), соответственно, и скорость истечения через отверстие , так же, завышена в 1.8 раза. Время истечения высчитывается по другой(гидродинамической) формуле:
$$Sdh=-Qdt$$

, или

$Sdh=-\mu{S_0}{sqrt{2gh}dt}$
Окончательно, время опорожнения сосуда :

$t=-{\frac{1}{\mu{S_0}{\sqrt{2g}}}{\int_{0}^{h}{S}\frac{dh}{\sqrt{h}}$
Здесь $\mu=0.5$ - безразмерный коэффициент расхода, связанный c произведением коэффициента сжатия струи на коэффициент сопротивления истечению,т.e.:

$\mu={\epsilon}{\phi}$
где:
$\epsilon=\frac{S_s}{S_0}$
-отношение площади струи(потока) к сечению отверстия.
Коэффициент сопротивления истечению -величина:
$\phi=\frac{1}{\sqrt{\alpha+\zeta}}$

здесь-\alpha - коэффициент Кориолиса,zeta - сопротивление краёв отверстия. Величины взял c, эмпирически построенным зависимостям, таблицы. Поэтому время для цилиндрического сосуда есть величина:
$t=\frac{2Sh}{\mu{S_0}{\sqrt{2gh}}$

Так подробно пишу для того, чтобы ещё кое o чём спросить: получается, что скоростьv_1 при постоянной величинеh линейно зависит от R, при изменении обоих параметровR иh зависимость уже квадратичная. Пусть величина R постоянна (сосуд-циллиндр), тогда получается функция
$$ v_1(h)$$

, но по условию $$ h(R)$$

, т.e. скоростьv_1 -функция от функции и эта скорость направлена к оси симметрии?

Рассматривая диф.уравнение:

$-v_1\frac{dv_1}{dR}+\frac{v_2^2}{R}=g\frac{dh}{dR}$
я "вижу" следующее (по моим представлениям): вектор скорости bv_1 направлен вниз по оси Z в пространственной решётке,т.e это какой-то установившийся ток жидкости вдоль трубы co своей параболической зависимостью:
$v_1=\frac{\bigtriangleup{pR^2}}{4{l}}({{1-\frac{r^2}{R^2}})$
здесь переменнаяr
Отношение
$\frac{dv_1}{dR}$ есть тензор напряжения при \mu=1

Получив более точное посекундное значение объёмного расхода воды, вычислял значения v_1 и v_2 при переменной h (вышеприведённые Вами уравнения я получил и сам ещё из предыдущей подсказки.Всё равно, большое Вам спасибо!)
Возможно,что под скоростьюv_2 подразумевается скорость истечения потока воды через сливное отверстие. Тогда скорость v_1 найдём из следующего соотношения:

1) $v_1=\sqrt{\frac{2gh}{(1+\frac{2hR}{r^2})}}=0.125ms^-1$
Подставим это значение скорости в следующее уравнение:

2) $v_2=\sqrt{2gh-v_1^2}=2.211\frac{m}{s}$

И, следовательно, поток воды через сливное отверстие есть величина:
3) $Q=v_2{\pi}r^2 =2.778{10^-3}\frac{m}{s}$

Время истечения ёмкости:

$t=\frac{\pi{R^2}h}{Q}=17.669s$

По стандартным формулам время истечения было иное. Из той же ёмкости вода выливалась за времяt=13.474s Расхождение довольно большое. Ещё раз спасибо за "вытягивание" меня из непознаного. Спасибо за всё, ALEX 165 !

yourdomain.com