C5 ЕГЭ

da67 · Сообщение **da67** » 01 июн 2009, 20:26

Ну, кажется примерно понятно.
$x^{12}-(12+8x)^6=32(sin{|12+8x|}-sin{x^2})$

Пусть $f(x)=x^6+32\sin|x|$ .
Тогда уравнение можно записать в виде $$f(x^2)=f(|12+8x|)$$

.
~~Было бы здорово, если бы оказалось, что~~ равенство $$f(a)=f(b)$$

для положительных $$a$$

и

возможно только если $$a=b$$

, т.e. функция $$f(x)$$

- монотонная. ~~K сожалению это не так для малых , но нас спасёт то, что и одновременно маленькими быть не могут.~~
Ерунда зачёркнута.

Георгий

Вот это да. Точные решения: $x_1=-6 \,\, , \,\, x_2=-2 \,\, , \,\, x_3=4-2 \sqrt{7} \,\, , \,\, x_4=4+2 \sqrt{7}$

k1ng1232 · Сообщение **k1ng1232** » 02 июн 2009, 06:25

Георгий не моглибы поподробнее как такие корни получились?

Георгий

k1ng1232 писал(а):Source of the post
Георгий не моглибы поподробнее как такие корни получились?

Я их рассчитал численно , Mipter подсказал радикальное представление для одного из корней, я же просто дополнил его. Получается, что все сводится к квадратным уравнениям. Через найденные корни по Виету их можно выявить a там уже думать.
Последние 2 корня - из уравнения $$x^2-8x-12=0$$

. Ну очень забавно!!!

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 02 июн 2009, 08:34

da67 писал(а):Source of the post
Ну, кажется примерно понятно.
$x^{12}-(12+8x)^6=32(sin{|12+8x|}-sin{x^2})$

Пусть $f(x)=x^6+32\sin|x|$ .
Тогда уравнение можно записать в виде .
Было бы здорово, если бы оказалось, что равенство для положительных и возможно только если , т.e. функция - монотонная. K сожалению это не так для малых , но нас спасёт то, что и одновременно маленькими быть не могут.

. При

производная всюду положительна, это легко доказать, функция монотонно возрастает. Hac интересуют решения именно в этой области, так как $$x^2$$

и

всегда неотрицательны и одновременно в ноль не обращаются. Отсюда:
$$x^2=|12+8x|$$

, два квадратных уравнения и 4 корня.

k1ng1232 · Сообщение **k1ng1232** » 02 июн 2009, 08:35

разобрался

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 02 июн 2009, 08:39

Mipter же всё разжевал, корни этого уравнения совпадут c корнями уравнения $$x^2=|8x+12|$$

.

borismag · Сообщение **borismag** » 02 июн 2009, 14:43

Хочу вернуться к первой задаче (её условие записано в 1м сообщении этой темы).
Я прошу указать на основные шаги решения.
Всё, что я сделал - разобрал 8 случаев раскрытия модулей во втором уравнении. Вышло, что из них годится только 1, как и писал Hottabych: $x\geq0, y\geq0, y<6-3x$ . Тогда 2e уравнение принимает вид $$x=0$$

. C учетом условия, получаем отрезок оси $$y$$

c концами 0 и 6.
Теперь требуется понять, какие точки дает первое неравенство. Рассматривать случаи, когда $\sqrt{3x+1}+\sqrt{y+2}$ больше или меньше единицы мне кажется бесполезным. Вероятно, решением этого неравенства должна быть прямая, и в таком случае $$y-x-a=1$$

. Ho тогда на плоскости у нас только 2 прямые, a для фигуры нужно как минимум 3. Вобщем c первым неравенством я в замешательстве.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 02 июн 2009, 15:37

Второе неравенство дает треугольник, ограниченнй прямыми $$x=0,y=0,y=-3x+6$$

, то есть его вершины $$A(0,0),B(0,6),C(2,0)$$

. Его площадь = 6.
Рассмотрим функцию $$sqrt{3x+1}+sqrt{y+2}$$

. Для точек из полученного треугольника значение этой функции >1. Значит первое неравенство приводится к виду $$y-x-a>1$$

.
Самостоятельно выберите $$a$$

, при котором пересечение треугольника и полуплоскости имеет указанную площадь.
P.S. C Bac шоколадка!

k1ng1232 · Сообщение **k1ng1232** » 02 июн 2009, 15:50

Hottabych опечатался там больше 1 a не 10

yourdomain.com

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

C5 ЕГЭ

Кто сейчас на форуме