Задачи разного рода

20020021 · Сообщение **20020021** » 15 апр 2009, 06:56

сейчас буду решать вместе c вами, буду рад любой подсказке

извините я не горазд в LaTeX(
сдать задачки нужно уже через 15 часов...)) я пока что попробую решить вторую

20020021 · Сообщение **20020021** » 15 апр 2009, 07:28

в третьем задании ответ кажется будет a=1 но как точно обьяснить незнаю((

serg007 · Сообщение **serg007** » 15 апр 2009, 10:20

1-й легко доказывается методом мат. индукции. для этого достаточно знать, как перемножить 2 матрицы и формулы $sin\alpha*cos\alpha=...$ , $sin\alpha*sin\alpha=...$ , $cos\alpha*cos\alpha=...$ .

Для $n \in \mathbb N$ , $n \geq 1$ имеем:

1) $$n = 1$$

- исходная матрица.
$$n = 2$$

- умножаем ee на саму себя, получаем:

$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} cos2\alpha & -sin2\alpha \\ sin2\alpha & cos2\alpha \end{pmatrix}$

2) Пусть для $$n = k$$

верно равенство:
$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix} cosk\alpha & -sink\alpha \\ sink\alpha & cosk\alpha \end{pmatrix}$

Докажем, что
$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^{k+1}=\begin{pmatrix} cos(k+1)\alpha & -sin(k+1)\alpha \\ sin(k+1)\alpha & cos(k+1)\alpha \end{pmatrix}$

T.к.
$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^{k+1}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^k\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}$

воспользовавшись инд. предположением, имеем:

$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^{k+1}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^k\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cosk\alpha & -sink\alpha \\ sink\alpha & cosk\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}$

перемножая 2 последние матрицы и используя приведенные выше тригон. равенства, получаем
$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^{k+1}=\begin{pmatrix} cos(k+1)\alpha & -sin(k+1)\alpha \\ sin(k+1)\alpha & cos(k+1)\alpha \end{pmatrix}$

при $$n = 0$$

могу предположить, что получится единичная матрица, хотя не уверен.

итого:
$\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix} cos(n\alpha) & -sin(n\alpha) \\ sin(n\alpha) & cos(n\alpha) \end{pmatrix}$

Георгий

Четвертое задние сводится ко второму замечательному:

$\lim _{x\rightarrow 0} \left( 1+{x}^{2}{e^{x}} \right) ^{ \left( 1-\cos x \right) ^{-1}}={e^{2}}$

Георгий

Пятый пример. Неопределенный интеграл равен:

$\int \!{\frac {1}{\sqrt { \left( x-a \right) \left( x-b \right) }}}{dx}=\ln \left[ x- \frac {1}{2}(a+b)+\sqrt {{x}^{2}-x(a+b)+ab} \right]$

Определенный:

$\int _{a}^{b}\!{\frac {1}{\sqrt { \left( x-a \right) \left( x-b \right) }}}{dx}=\ln \frac { b-a }{ a-b}$

Как быть c отрицательным аргументом логарифма, я не знаю

20020021 · Сообщение **20020021** » 15 апр 2009, 11:38

я тут сам кое что нарешал щас выложу фоточки)
спасибо вам большое за решения давайте теперь ещё решим второе и третье

20020021 · Сообщение **20020021** » 15 апр 2009, 11:58

Георгий пожалуйста опишите поподробнее как вы получили эти решения

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 15 апр 2009, 13:48

Серега, если не начнете пользоваться ТЕХом, тема будет закрыта!

20020021 · Сообщение **20020021** » 15 апр 2009, 14:01

окей

Георгий

Выражение под корнем:

$$(x-a)(x-b)=x^2-x(a+b)+ab = [x- 0.5(a+b)]^2+ab-0.25(a+b)^2$$

Делаешь замены и будет табличный интеграл

$\int \!{\frac {1}{\sqrt {{t}^{2}+m}}}{dt}=\ln \left( t+\sqrt {{t}^{2}+m} \right)$

yourdomain.com