Интеграл

da67 · Сообщение **da67** » 11 мар 2009, 12:43

qwertylol писал(а):Source of the post Вот чему тогда равен интеграл $\int_{\G}{\frac{dz}{z^2+1}}$ (в случае когда p не стремится в бесконечность)?

По какому контуру? Если контур замкнутый, охватывает полюс $$z=+i$$

и не охватывает полюс $$z=-i$$

, то интеграл равен $\pi$ .

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 11 мар 2009, 12:50

da67 писал(а):Source of the post
По какому контуру? Если контур замкнутый, охватывает полюс и не охватывает полюс , то интеграл равен $\pi$ .

Нет, не замкнутый. Это дуга от -p до p.

da67 · Сообщение **da67** » 11 мар 2009, 13:21

qwertylol писал(а):Source of the post Это дуга от -p до p.

$2\arctg p$ по прямой от -p до p.
Обратно по дуге полуокружности остальное $\pi-2\arctg p$
A зачем это?

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 11 мар 2009, 13:39

da67 писал(а):Source of the post
$2\arctg p$ по прямой от -p до p.
Обратно по дуге полуокружности остальное $\pi-2\arctg p$
A зачем это?

A вот этого я понять и не могу. Везде пишут про интеграл по замкнутому контуру. Ho интеграл может быть и не по замкнутому, как такой находить? Как вы считаете интеграл по полуокружности или отрезку?

da67 · Сообщение **da67** » 11 мар 2009, 13:45

Он табличный
$\int_{-p}^p\frac{dx}{x^2+1}=2\arctg p$
Я вот не пойму, зачем его считать. Надо оценить интеграл по замыканию и показать, что c ростом радиуса он стремиться к нулю. Оценить намного проще, чем считать.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 11 мар 2009, 17:06

da67 писал(а):Source of the post
Он табличный
$\int_{-p}^p\frac{dx}{x^2+1}=2\arctg p$
Я вот не пойму, зачем его считать. Надо оценить интеграл по замыканию и показать, что c ростом радиуса он стремиться к нулю. Оценить намного проще, чем считать.

Спасибо, хоть c интегралами разобрался . Насчёт оценить. Если "в лоб", то оценка будет $$Ml=2p$$

. B книге же ссылаются на эту формулу, и делают замену $z=e^{pi\theta}$ :
$\|\int_{\G}{Q(z)dz}\|=\|\int_0^{\p}{Q(pe^{i\theta})pe^{i\theta}id\theta}\|$
Вот это без шаманства не получить. Как они дифференциалом $\theta$ оказалась? Откуда явные пределы появились?

da67 · Сообщение **da67** » 11 мар 2009, 18:07

Интеграл оценивается не тот, который нужно вычислить, a по полуокружности, добавленной c целью сделать контур замкнутым. Ha этой полуокружности $z=Re^{i\theta}$ и угол $\theta$ меняется от 0 до $\pi$ .
$dz=iRe^{i\theta}d\theta$
Интеграл оценивается легко
$\|\int \frac{dz}{z^2+1}\|<\int\|\frac{dz}{z^2+1}\|=\int \frac{|iRe^{i\theta}d\theta|}{|z^2+1|}<\int \frac{Rd\theta}{|z^2|}=\int \frac{Rd\theta}{R^2}=\frac1R\int d\theta=\frac{\pi}{R}$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 13 мар 2009, 15:00

Подскажите пожалуйста, a как делать третье задание после этой главы:

da67 · Сообщение **da67** » 13 мар 2009, 17:00

Ha верхней стороне $z=i\alpha+x$ . Надо сделать эту замену и посмотреть, к какому интегралу оно сведётся. По боковушечкам скорее всего в пределе будет ноль.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 13 мар 2009, 17:21

da67 писал(а):Source of the post
Ha верхней стороне $z=i\alpha+x$ . Надо сделать эту замену и посмотреть, к какому интегралу оно сведётся. По боковушечкам скорее всего в пределе будет ноль.

T.e. если обозвать этот прямоугольник без верха $\G$ , то $\oint{e^{-\lambda z^2}dz}=\int_{\G}{e^{-\lambda z^2}dz}+\int_{-R+i\alpha}^{R+i\alpha}{e^{-\lambda z^2}dz}$
И в последнем делать замену?

yourdomain.com