Интеграл

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 23 фев 2009, 10:43

сабж:
$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{exp{-2i\p x\omega}}{a^2+x^2}dx}$
Причём $\omega\in\mathbb Z,\,a\in\mathbb R$ . Wolfram берёт этот интеграл без проблем .

da67 · Сообщение **da67** » 23 фев 2009, 11:07

И мы возьмём.
$I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{exp{-ipz}}{a^2+z^2}dz$
$$p$$

обычно всё же действительное, иначе на какой-нибудь из бесконечностей разойдётся.
Комплексное тут $$z$$

. Считаем, что $$a>0$$

.

Есть теорема o вычетах. Ho она для замкнутого контура. Поэтому первым делом путь интегрирования надо замкнуть.
Пусть $$p>0$$

. Тогда функция $e^{-ipz}$ стремительно растёт в верхней части комплексной плоскости (Im z>0) и так же стремительно убывает в нижней. Поэтому контур будем замыкать вниз большой полуокружностью. Надо бы доказать, что интеграл по замыканию стремится к нулю c ростом радиуса, но это известный стандартный факт (лемма Жордана).
Внутри контура один простой полюс в точке $$z=-ia$$

, вычет там равен $R=\frac{e^{-ip(-ia)}}{2(-ia)}=-\frac{e^{-pa}}{2ia}$ . Интеграл равен $-2\pi iR$ , минус, потому что контур обходится в отрицательном направлении - по часовой стрелке.
Итого, при $$p>0$$

$I=\frac{\pi}{a}e^{-ap}$ .

При $$p<0$$

всё аналогично, только замыкать надо вверх.
$I=\frac{\pi}{a}e^{ap}$ .

Объединяя оба результата, имеем
$\frac{\pi}{a}e^{-a|p|}$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 28 фев 2009, 11:53

da67 писал(а):Source of the post
функция $e^{-ipz}$ стремительно растёт в верхней части комплексной плоскости (Im z>0) и так же стремительно убывает в нижней.

Под возрастанием функции понимается возрастание модуля функции?

da67 · Сообщение **da67** » 28 фев 2009, 19:20

Да, конечно.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 10 мар 2009, 07:40

Подскажите пожалуйста ещё раз c интегралом. Нужно вычислить интеграл $\int_0^{\infty}{\frac{\cos(x)}{x^2+9}dx}$ .
Насколько я понял из KCA интеграл равен $2i\p Res_{z_0}(f(z))$ , где $$z_0$$

- это вычеты в верхней полуплоскости. У нас такой вычет только один: $\frac{\cos(3i)}{3+3i}=-\frac{i(e^6+1)}{12e^3}$ . Умножив на $2i\p$ получаем $\frac{\p(e^6+1)}{6e^3}$ . Ho математика выдаёт ответ в $$e^6+1$$

раз меньше .

Георгий

У меня тоже такой же ответ. Отсюда - правильное значение вычета: $-\frac{i}{12e^3}$ .

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 10 мар 2009, 08:39

Георгий писал(а):Source of the post
У меня тоже такой же ответ. Отсюда - правильное значение вычета: $-\frac{i}{12e^3}$ .

$\lim_{z\to3i}{\frac{\cos(z)(z-3i)}{z^2+9}}=\frac{\cos(3i)}{3+3i}$ . Как вы $-\frac i{12e^3}$ получили? Распишите пожалуйста своё решение.
Нашёл в своём решении одну ошибку- я посчитал от $-\infty$ до $\infty$ , но т.к. функция чётная результат надо делить на 2.

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 10 мар 2009, 09:01

$\int_{-\infty}^{+\infty} R(x)dx$ равен сумме $2i\p Res_{z_0}(f(z))$ , где вычеты берутся в верхней полуплоскости, если $$R(x)$$

- рациональная функция.

B вашем случае нужна формула:

$\int_{-\infty}^{+\infty} R(x)\cos(x)dx = Re \left(\int_{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{ix}dx\right) = Re \left(2\pi i \sum_{k=1}^{n} res_{z=z_k} (e^{iz}R(z))\right)$ , сумма вычетов берется по особым точкам в верхней полуплоскости.

Получается $\frac{\pi}{6}e^{-3}$ .

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 10 мар 2009, 09:25

Точнее, для формулы $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x)dx$ равен сумме $2i\p Res_{z_0}(f(z))$ , где вычеты берутся в верхней полуплоскости, требуется, чтобы $\lim_{z\rightarrow \infty} zR(z) = 0$ (для рациональных $$R$$

при условии сходимости интеграла это условие всегда выполняется).

Здесь предел $\lim_{z\rightarrow \infty} z\frac{cos(z)}{z^2 + 9}$ не существует, поэтому воспользоваться этой формулой нельзя.

da67 · Сообщение **da67** » 10 мар 2009, 19:10

Уже в общем ответили.
Ho важно понимать, что теорема o вычетах применима только для замкнутого контура (a не для какого попало интеграла), поэтому контур сначала надо замкнуть, причём так, чтобы интеграл по добавленному был нулевым. C косинусом это невозможно.
Начать нужно c интеграла
$\oint\frac{e^{iz}}{z^2+9}$
по контуру, состоящему из действительной оси и полуокружности в верхней полуплоскости.

yourdomain.com