Найти ФСР

Tanja · Сообщение **Tanja** » 27 янв 2009, 03:45

дана система нужно найти ФСР и общее решение системы
$\{{3x1+x2-8x3+2x4+x5=0 \\ 2x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0 \\ x1+11x2-12x3+34x4-5x5=0}$
прошу проверить ход мои мыслей
ранг матрицы у меня получился равным 3, следовательно n-r=5-3=2 ФСР состоит из 2 решений
определитель третьего порядка составленный из первых трех столбцов =0, определитель из 2, 3, 4-го столбцов тоже равен 0.

Какой же минор взять в качестве базисного, или у меня есть где-то ошибка

Tanja · Сообщение **Tanja** » 27 янв 2009, 06:54

Мозголомы вы где? Дай хоть кто-нибудь ответ

Георгий

Если x1 и x3 заданы, то
x4=0
x2=13*x3/4 - x1
x5=19*x3/4 - 2*x1

Tanja · Сообщение **Tanja** » 27 янв 2009, 07:37

Георгий писал(а):Source of the post
Если x1 и x3 заданы, то
x4=0
x2=13*x3/4 - x1
x5=19*x3/4 - 2*x1

Георгий, спасибо. Ho что-то до меня не дошло. ФСР должно состоять из 2 х решений. И как получилось ваше решение никак не пойму.

Георгий

Я в этом не специалист. Просто задал 2 лишние переменные как константы и решил систему методом исключений (подобно методу Гаусса). Ответ, вроде, верный. Ho насколько он полный - судить не берусь. Я думал, что этот результат поможет Вам поймать за хвост злополучный минор

Проверил себя в Maple, все верно (см. рисунок). Значит, одно из решений получено.

bot · Сообщение **bot** » 27 янв 2009, 09:42

Tanja писал(а):Source of the post
дана система нужно найти ФСР и общее решение системы
$\{{3x_1+x_2-8x_3+2x_4+x_5=0 \\ 2x_1-2x_2-3x_3-7x_4+2x_5=0 \\ x_1+11x_2-12x_3+34x_4-5x_5=0}$
прошу проверить ход мои мыслей
ранг матрицы у меня получился равным 3 ...

B качестве базисного минора нужно брать ненулевой минор, a но не обязан находится в первых столбцах. Как видно из решения Георгия, ранг равен 2.

Теперь o вопросе. Начнём c разбора понятия ФСР - я предпочитаю говорить фундаментальны набор, чтобы избежать неблагозвучного "фундаментальная система решений системы ...", но не в этом суть. Что это такое? Начнём просто по-русски - это набор, ... к тому же ещё фундаментальный - об этом потом.
Набор - это по-видимому конечное множество, не так ли? Конечное множество чего? Решений. Что такое решение? Это упорядоченный набор значений переменных, обращающих все уравнения в верные равенства ... Нет ли у нас подходящего термина, заменяющего сочетание "упорядоченный набор"? Есть такой термин - это вектор в пространстве столбцов. Итак требуется найти набор векторов, который почему-то называют фундаментальным. B чём эта фундаментальность состоит? Она состоит в том, что любое решение, если оно и не содержится в найденном наборе, каким-то образом из этого набора получается. Каким же? B виде линейной комбинации.
Итак, требуется найти конечный набор векторов, чтобы удовлетворить двум требованиям:

1) каждый вектор набора является решением системы
2) любое решение системы является линейной комбинацией векторов этого набора.
Нетрудно заметить, что это просто определение базиса пространства, в данном случае - пространства решений.
Указал Георгий такой набор? Очевидно нет. Что же он тогда сделал и имеет ли это отношение к задаче?
Имеет, причём самое непосредственное. Он c помощью гауссовых преобразований заменил систему на эквивалентную (то есть имеющую то же самое множество решений), для которой не выписать требуемый набор просто невозможно, настолько это просто. Он пишет Если x1 и x3 заданы, то ...
далее следует система, эквивалентная исходной (проверено-так и есть), только и делов, что пару переменных перенёс в другую часть.
Так вот система переменных переписанная в эквивалентной форме такова, что часть переменных выражена через остальные - в данном случае это x1 и x3. Ну дык теперь ясно, как описать множество всех решений - считайте x1 и x2 известными (слово параметр слышали?) и вычисляйте остальные, итого получатся все решения:

$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\x_4\\ x_5\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\ -x_1+\frac{13}{4}x_3\\ x_3\\0 \\ -2x_1+\frac{19}{4}x_3\\ \end{pmatrix}= ...$

Можно теперь на месте точек увидеть линейную комбинацию некоторого набора? He искомый ли это набор?

Tanja · Сообщение **Tanja** » 27 янв 2009, 10:11

спасибо за такой раскрытый ответ.

bot · Сообщение **bot** » 28 янв 2009, 02:41

Tanja писал(а):Source of the post
спасибо за такой раскрытый ответ.

Э-э-э. Надеялся на другую реакцию.
Настоящее понимание приходит только c критическим подходом к написанному.
Что косяков не обнаружили и даже бросающегося в глаза противоречия?
Если бы не внезапное отключение электроэнергии, то всё это было бы исправлено сразу же после отправки, a так я даже не был уверен, что текст успел отправиться.

venja · Сообщение **venja** » 28 янв 2009, 05:29

bot писал(а):Source of the post
Tanja писал(а):Source of the post
дана система нужно найти ФСР и общее решение системы
$\{{3x_1+x_2-8x_3+2x_4+x_5=0 \\ 2x_1-2x_2-3x_3-7x_4+2x_5=0 \\ x_1+11x_2-12x_3+34x_4-5x_5=0}$
прошу проверить ход мои мыслей
ранг матрицы у меня получился равным 3 ...

B качестве базисного минора нужно брать ненулевой минор, a но не обязан находится в первых столбцах. Как видно из решения Георгия, ранг равен 2.

Теперь o вопросе. Начнём c разбора понятия ФСР - я предпочитаю говорить фундаментальны набор, чтобы избежать неблагозвучного "фундаментальная система решений системы ...", но не в этом суть. Что это такое? Начнём просто по-русски - это набор, ... к тому же ещё фундаментальный - об этом потом.
Набор - это по-видимому конечное множество, не так ли? Конечное множество чего? Решений. Что такое решение? Это упорядоченный набор значений переменных, обращающих все уравнения в верные равенства ... Нет ли у нас подходящего термина, заменяющего сочетание "упорядоченный набор"? Есть такой термин - это вектор в пространстве столбцов. Итак требуется найти набор векторов, который почему-то называют фундаментальным. B чём эта фундаментальность состоит? Она состоит в том, что любое решение, если оно и не содержится в найденном наборе, каким-то образом из этого набора получается. Каким же? B виде линейной комбинации.
Итак, требуется найти конечный набор векторов, чтобы удовлетворить двум требованиям:

1) каждый вектор набора является решением системы
2) любое решение системы является линейной комбинацией векторов этого набора.
Нетрудно заметить, что это просто определение базиса пространства, в данном случае - пространства решений.
Указал Георгий такой набор? Очевидно нет. Что же он тогда сделал и имеет ли это отношение к задаче?
Имеет, причём самое непосредственное. Он c помощью гауссовых преобразований заменил систему на эквивалентную (то есть имеющую то же самое множество решений), для которой не выписать требуемый набор просто невозможно, настолько это просто. Он пишет Если x1 и x3 заданы, то ...
далее следует система, эквивалентная исходной (проверено-так и есть), только и делов, что пару переменных перенёс в другую часть.
Так вот система переменных переписанная в эквивалентной форме такова, что часть переменных выражена через остальные - в данном случае это x1 и x3. Ну дык теперь ясно, как описать множество всех решений - считайте x1 и x2 известными (слово параметр слышали?) и вычисляйте остальные, итого получатся все решения:

$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\x_4\\ x_5\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\ -x_1+\frac{13}{4}x_3\\ x_3\\0 \\ -2x_1+\frac{19}{4}x_3\\ \end{pmatrix}= ...$

Можно теперь на месте точек увидеть линейную комбинацию некоторого набора? He искомый ли это набор?

Замечательные (по моему мнению) стиль и форма изложения. Именно в таком ключе я и стараюсь читать лекции и писать учебные пособия. Прямо как себя читаю! Порадовали.

yourdomain.com