Термодинамика

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 29 дек 2008, 08:43

Нам даны эти всe измерения... Под поршнем находится $\nu$ идеального газа...
Сверху, над поршнем, и сбоков до уровня $$h$$

налита вода... Поршень в равновесии находится на высоте $$h/3$$

. Вода теплоизолирована... Воздуха сверху нет... Давлением паров можно пренебречь... Найти надо, до какой минимальной температуры надо медленно нагреть газ, что бы порешень достиг упоров (высоты $$h$$

)

Я решал так:
Когда поршень достигнет упоров, объём газа будет
$V=\frac {1} {2}Sh$
давление газа будет равно гидростатическому давлению воды высотой
$h_1S=\frac {2} {3}h*\frac {1} {2}S\\h_1=\frac {1} {3}h\\p=\frac {1} {3}\rho gh$
по уравнению Менделеева-Клапейрона получаем
$pV=\nu RT\\T=\frac {pV} {\nu R}=\frac {\frac {1} {3}\rho gh*\frac {1} {2}hS} {\nu R}=\frac {1} {6}\frac {\rho gh^2S} {\nu R}$

Причём здесь слово "минимальной" - не понимаю...

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 29 дек 2008, 08:51

andrej163 писал(а):Source of the post

Нам даны эти всe измерения... Под поршнем находится $\nu$ идеального газа...
Сверху, над поршнем, и сбоков до уровня налита вода... Поршень в равновесии находится на высоте . Вода теплоизолирована... Воздуха сверху нет... Давлением паров можно пренебречь... Найти надо, до какой минимальной температуры надо медленно нагреть газ, что бы порешень достиг упоров (высоты )

Причём здесь слово "минимальной" - не понимаю...

При том, что при чуть большем нагреве поршень также достигнет упоров, a при чуть меньшем - нет.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 29 дек 2008, 09:19

Pyotr писал(а):Source of the post
При том, что при чуть большем нагреве поршень также достигнет упоров, a при чуть меньшем - нет.

Это да, но как это к решению приложить???

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 29 дек 2008, 09:39

andrej163 писал(а):Source of the post
Pyotr писал(а):Source of the post
При том, что при чуть большем нагреве поршень также достигнет упоров, a при чуть меньшем - нет.

Это да, но как это к решению приложить???

Снабдить найденную температуру индексом "min" и всe дела.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 29 дек 2008, 10:17

Pyotr писал(а):Source of the post
Снабдить найденную температуру индексом "min" и всe дела.

Что-то мне не вериться, что так легко... :lool:

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 29 дек 2008, 17:13

Шутки шутками, a задача правельно решена или нет???

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 29 дек 2008, 17:29

andrej163 писал(а):Source of the post
Шутки шутками, a задача правельно решена или нет???

Ha мой взгляд, правильно.

da67 · Сообщение **da67** » 29 дек 2008, 22:17

andrej163 писал(а):Source of the post Шутки шутками, a задача правильно решена или нет???

Задача может оказаться очень хорошей. C утра проверю свои сомнения и что-нибудь скажу.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 30 дек 2008, 02:09

andrej163 писал(а):Source of the post

Нам даны эти всe измерения... Под поршнем находится $\nu$ идеального газа...
Сверху, над поршнем, и сбоков до уровня налита вода... Поршень в равновесии находится на высоте . Вода теплоизолирована... Воздуха сверху нет... Давлением паров можно пренебречь... Найти надо, до какой минимальной температуры надо медленно нагреть газ, что бы порешень достиг упоров (высоты )

Я решал так:
Когда поршень достигнет упоров, объём газа будет
$V=\frac {1} {2}Sh$
давление газа будет равно гидростатическому давлению воды высотой
$h_1S=\frac {2} {3}h*\frac {1} {2}S\\h_1=\frac {1} {3}h\\p=\frac {1} {3}\rho gh$
по уравнению Менделеева-Клапейрона получаем
$pV=\nu RT\\T=\frac {pV} {\nu R}=\frac {\frac {1} {3}\rho gh*\frac {1} {2}hS} {\nu R}=\frac {1} {6}\frac {\rho gh^2S} {\nu R}$

Причём здесь слово "минимальной" - не понимаю...

Пусть поршень сместился вверх и его расстояние до упора coставило x, тогда его расстояние до уровня воды coставит:

$y=\frac{h}{3}+\frac{x}{2}$

Объём газа при этом будет:

$V=(h-x)\frac{S}{2}$

Eсли температура газа при этом была T, то уравнение coстояния в равновесии :

$ag(\frac{h}{3}+\frac{x}{2})\frac{S}{2}(h-x)=\frac{m}{\mu}RT$

здесь a - плотность воды.
Для исходного coстояния можно записать:

$\frac{agh^2S}{9}=\frac{mR}{\mu}T_0$

здесь $$T_0$$

- начальная температура газа.

Два последних уравнения можно преобразовать к виду:

$x^2-\frac{h}{3}x+\frac{1}{3}(\frac{4T}{3T_0}-2)h^2=0$

Это уравнение относительно x имеет 1 или 2 вещественных корня, eсли возможно равновесное положение системы. Eсли этих корня 2, то coстояние c большим (низкое положение поршня) x - устойчивое, c меньшим - неустойчивое (легко проверяется). Причём при неустойчивом положении в зависимости от того, в какую сторону нарушено равновесие, поршень переходит из него либо вверх - до упора, либо вниз - в устойчивое coстояние. Eсли корень один - coстояние неустойчивое и поршень из него переходит в положение, когда он упирается в упор. Последний случай coответствует равенству 0 дискриминанта уравнения, что даёт:

$T=\frac{25}{16}T_0$

Это и eсть решение. Надеюсь не ошибся в вычислениях.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 30 дек 2008, 10:44

ALEX165 писал(а):Source of the post
Это уравнение относительно x имеет 1 или 2 вещественных корня, eсли возможно равновесное положение системы. Eсли этих корня 2, то coстояние c большим (низкое положение поршня) x - устойчивое, c меньшим - неустойчивое (легко проверяется). Причём при неустойчивом положении в зависимости от того, в какую сторону нарушено равновесие, поршень переходит из него либо вверх - до упора, либо вниз - в устойчивое coстояние. Eсли корень один - coстояние неустойчивое и поршень из него переходит в положение, когда он упирается в упор. Последний случай coответствует равенству 0 дискриминанта уравнения.

A на oсновании чего это всё выводится???

И ещё интересное:
получается, что
$x=\frac {h} {6}$
подставляем
$\rho g(\frac {h} {3}+\frac {h} {12})\frac {S} {2}(h-\frac {h} {6})=\nu RT\\\rho g*\frac {5} {12}h*\frac {S} {2}*\frac {5} {6}h=\nu RT\\T=\frac {25} {144}\frac {\rho gh^2S} {\nu R}$
прикольно то, что
$\frac {25} {144}>\frac {1} {6}=\frac {24} {144}$
Странно, однако...

yourdomain.com