Диф геометрия

San1990 · Сообщение **San1990** » 27 дек 2008, 21:01

Проверьте:

3. Найти точку кривой у=sin(x) в которой кривизна равна 1. (моё решение рис.1)

4. Дана кривая $\vec{r}=(ucos(v),usin(v),v);$ ,

при u=4, найти длину кривой между точками A1=(-1;1) A2=(2;2).

Моё решение: При u=4 имеем спираль, точки A1, A2 ей не принадлежат.

5. Задана поверхность $\vec{r}=(u,v,u^3-v^3);$ , и две кривые на ней $$u=v^2;$$

, v=1. Найти угол между этими кривыми. (моё решение рис 2)

6. Найти касательную плоскость к поверхности $$z=x^2+y^2;$$

, которая паралельна плоскости x+y+z+1=0. (моё решение рис 3).

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 27 дек 2008, 21:46

San1990 писал(а):Source of the post
3. Найти точку кривой у=sin(x) в которой кривизна равна 1. (моё решение рис.1)

Кривизна равна
$k = \frac{y''}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$
Следовательно, для рассматриваемой функции ( $y = \sin x,\ y' = \cos x,\ y'' = -\sin x$ ) получаем
$k = \frac{-\sin x}{(1 + \cos^2 x)^{\frac32}} = 1$
Умножая на знаменатель и возводя в квадрат получим
$1 - \cos^2 x = \sin^2 x = (1 + \cos^2 x)^3$
Сделав замену $u = \cos^2 x$ получим уравнение
$$1 - u = (1 + u)^3 =1 + 3u + 3u^2 + u^3$$

откуда

Единственным решением является $$u = 0$$

, то eсть $\cos x = 0$ . Значит $x \in \left\{ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2} \right\}$ Проверяем их и получаем, что единственным решением является
$x = \frac{3\pi}{2}$

San1990 · Сообщение **San1990** » 27 дек 2008, 22:29

Ещё пожалуйста те задачи

yourdomain.com