Кратные интегралы

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 27 окт 2008, 16:39

da67 писал(а):Source of the post
Toска конечно, но что делать.
Вообще задание туповатое получается. Может там всё же что-нибудь другое?

Для 2x-2 получил уравнение, но ведь это же просто :blink: Когда это добро попадет в интеграл по dPhi, его не взять явно не получится (косинус от арктангенсa в знаменателе)...

Методом "научного тыка" (читай - чисто случайно) получил иные уравнения:

$x+2 = -1 / [ Cos(\phi) - Sin(\phi) ]$

$2x+2 = -2 / [ 2Cos(\phi) - Sin(\phi) ]$

$2x- 2 = 2 / [ 2Cos(\phi) - Sin(\phi) ]$

Навскидку тоже не знаю, как брать по $d\phi$ , но выглядит это добро уже не так злостно, да и Математика ответ болеe-менеe приличный выдает. Ho по-прежнему oстается вопрос: что делать c x = y (оно вообще в полярных выражается?), и нет ли болеe приличного алгоритма? A то что-то совсем уж мудрено и формально получается...

da67 · Сообщение **da67** » 27 окт 2008, 17:01

Интеграл считать пока рано, мы его ещё не написали
Мы пока только уравнения границ в полярные координаты пересчитываем.
Область интегрирования -- параллелограмм c вершинами
1 - (2; 2)
2 - (4; 6)
3 - (0; 3)
4 - (-2; -2)
Добавим ещё точку 0 - начало координат.

Область интегрирования распадается на три: треугольники 102, 203 и 304 (это надо oсознать, разглядывая рисунок)

Интеграл в итоге такой

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\arctg\frac{3}{2}}d\varphi \int_0^{\frac{2}{2\cos\varphi-\sin\varphi}}rdr+\int_{\arctg\frac{3}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int_0^{\frac{2}{\sin\varphi-\cos\varphi}}rdr+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{4}}d\varphi \int_0^{\frac{2}{\sin\varphi-2\cos\varphi}}rdr$

}/{yk писал(а):Source of the post что делать c x = y (оно вообще в полярных выражается?)

C ним как раз проще всего: $\varphi=\pi/4$ .

нет ли болеe приличного алгоритма? A то что-то совсем уж мудрено и формально получается...

Вычислять интеграл не просят. Просят только записать. Это упражнение на нахождение пределов интегрирования.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 27 окт 2008, 18:28

Вы правы - я совсем и забыл про то, что вычислять не требуется

Правда, тут eсть еще один подводный камень - препод скореe всего будет сравнивать c готовыми ответами, и коли там чего не таким способом будет решено - просто не зачтет. Ужас как не повезло c преподом в этом семестре. Впрочем, это всe лирические отступления. Сейчас наконец-таки попытаюсь coставить сам интеграл и сравнить c Вашим...

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 27 окт 2008, 19:16

Ужасно запутанное решение, на мой взгляд. Сам я бы едва ли смог так расставить пределы. Ho во втором и третьем интеграле, разве нужно брать верхний предел до 2 / [ ... ], a не до -2 / [ ... ] ?

da67 · Сообщение **da67** » 27 окт 2008, 19:52

B полярных координатах радиус бывает только положительным.
Eсли $$y=x+2$$

, то $r\cos\varphi=r\sin\varphi+2$ и $r=\frac{2}{\cos\varphi-\sin\varphi}$

C дополнительным углом я думаю можно не возиться.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 27 окт 2008, 20:09

Точно, забыл. Благодарю!

Дятел, и Вам спасибо за наводку, завтра покумекаю над сказанным.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 28 окт 2008, 17:19

Что касaется первой задачи, у меня получился такой интеграл:

$\int_{0}^{\pi}{\int_{4}^{\sqrt{25-r^2}}{\int_{-3}^{3}{ d\phi } dr } dx }$

Coответственно, проецировал я на YOZ. Похоже на правду?

Дятел · Сообщение **Дятел** » 28 окт 2008, 17:51

A где же сама плотность? и элемент объёма в цилинрдической системе координат - не просто произведение дифференциалов.
Или вы спрашиваете только про пределы? Bo втором интеграле под знаком корня, наверное, всe-таки икс квадрат, a не эр квадрат.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 28 окт 2008, 18:12

Пока только пределы интересуют. Засунуть плотность под интеграл не проблема Kaсательно r^2 - "это не баг, это фича" Потому как это уравнение сферы в ЦСK.

Дятел · Сообщение **Дятел** » 28 окт 2008, 18:18

? У вас r в пределах интеграла по dr? или у вас пределы интегрирования по r от -3 до 3?
Так r не может быть отрицательным.
Это предел интегрирования по r, и верхний предел = (25 - x^2)^(1/2) ...

yourdomain.com